5.4 Поняття про показники варіації і способи їх обчислення

Середні величини не виражають індивідуальних особливостей досліджуваної сукупності, які породжують варіацією ознаки її окремих елементів, а тому, їх потрібно доповнювати показниками, що характеризують коливання значень ознаки в сукупності.

Варіацією в статистиці називаються коливання ознаки в одиниць сукупності, а показники, що характеризують ці коливання називаються показниками варіації. Вони показують як розміщуються навколо середньої окремі значення осереднюваної ознаки.

Розглянемо приклад. Маємо дані про продуктивність праці робітників - відрядників в двох бригадах:

Середня продуктивність праці в двох бригадах однакова.

Однак, коливання продуктивності праці відрядників – робітників в першій бригаді значно більше, ніж у другій. Отже, друга бригада працює ритмічніше, ніж перша.

Для вимірювання варіації у статистиці використовують такі показники як: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення (дисперсія), середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.

Розмах варіації являє собою різницю між найбільшим і найменшим значенням ознаки.

(5.14)

де R – розмах варіації;

x_max – максимальне значення ознаки;

x_min – мінімальне значення ознаки.

В нашому прикладі розмах варіації: для першої бригади R1 =190 −10 =180 шт.; для другої бригади R2 =120 −80 = 40 шт.

Розмах варіації простий для обчислення, але він відображає лише крайні значення ознаки і не дає уяви про ступінь варіації усередині сукупності.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від середньої арифметичної.

Середнє лінійне відхилення – величина іменована і визначається за формулами:

а) середнє лінійне відхилення просте:

(5.15)

б) середнє лінійне відхилення зважене

(5.16)

Обчислимо середнє лінійне відхилення для нашого прикладу:

Отже, кількість вроблених деталей за зміну окремими робітниками відрізняється від середньої в першій бригаді в середньому на 86 шт., а в другій бригаді – в середньому на 12 шт. Таким чином середнє лінійне відхилення по виробництву деталей за зміну в першій бригаді у 5,7 разів більше, ніж у другій.

Середній квадрат відхилення або дисперсія (σ²) визначається як середня арифметична з квадратів відхилень окремих варіантів від їх середньої.

В залежності від вихідних даних, дисперсію обчислюють за формулами:

а)дисперсія проста: (5.17)

б)дисперсія зважена: (5.18)

Середнє квадратичне відхилення (σ), являє собою корінь квадратичний з дисперсії. Воно визначається за формулами:

а) середнє квадратичне відхилення просте:

б) середнє квадратичне відхилення зважене:

Середнє квадратичне відхилення називають стандартним відхиленням.

Воно як і середнє лінійне відхилення, є іменованою величиною. Середнє квадратичне відхилення використовують при оцінці тісноти зв’язку між явищами, при обчисленні помилок вибіркового спостереження, дослідженні рядів розподілу та ін.

Для нормального або близького до нормального розподілу між середнім квадратичним і лінійним відхиленнями встановлено таке співвідношення: σ = 1,25 .

Середнє квадратичне відхилення не завжди зручне для використання, тому що воно не дозволяє порівнювати між собою середні квадратичні відхилення у варіаційних рядах, варіанти яких виражені у різних одиниць виміру.

Щоб мати можливість порівнювати середні квадратичні відхилення різних варіаційних рядів, потрібно перейти від абсолютних до відносних показників варіації.

До числа відносних показників відносять коефіцієнти варіації:

а) лінійний

б) квадратичний

в) осциляції

г) квадратний

Розглянемо обчислення вищенаведених показників варіації на прикладі. Нехай маємо дані про розподіл виробів за масою.

Розрахункова таблиця

Розмах варіації дорівнює:

Середня вага виробу:

Середнє лінійне відхилення:

Середній квадрат відхилення(дисперсія):

Середнє квадратичне відхилення:

Коефіцієнт варіації середньої маси виробу:

Лінійний коефіцієнт варіації:

Як бачимо: