Лекція №5.

Тема:Середні величини та показники варіації

План

1. Поняття середніх величин.

2. Види середніх величин та способи їх обчислення

3. Структурні середні.

4. Поняття про показники варіації і способи їх обчислення

5. Спрощені способи розрахунку дисперсії

5.1 Поняття середніх величин.

Середня величина – це узагальнюючий показник, який характеризує однорідну сукупність явищ за якою-небудь кількісною варіаційною ознакою в даних умовах місця і часу.

Сукупність, яку ми збираємося характеризувати середньою величиною повинна бути:

1)якісно однорідною, однотипною;

2)складатися з багатьох одиниць.

Середні величини можуть бути абсолютними або відносними залежно від вихідної бази.

Середні можуть бути прості і зважені.

5.2 Види середніх величин та способи їх обчислення

Найбільш поширеним видом середніх величин в статистці є середня арифметична. Вона застосовується у формі простої середньої і зваженої середньої.

Середня арифметична проста застосовується в таких випадках, коли всі варіанти зустрічаються один раз, або мають однакові частоти в досліджуваній сукупності. Її отримують шляхом додаванням окремих варіантів і діленням суми на число доданків.

Формула середньої арифметичної простої має вигляд:

(5.1)

де х – середня величина ознак;

х1, х2, х3, ..., хп – окремі варіанти ознаки;

Σ – (велика грецька літера «сігма») – знак суми; п – кількість варіантів.

Розглянемо приклад. Маємо такі дані про добове видобування солі на шахті за першу декаду червня.

Числа місяця	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Добове видобування солі,тис.т.	5,4	5,3	5,6	5,5	5,7	5,9	6,0	5,8	6,2	6,1

Якщо в сукупності варіанти зустрічаються неоднакову кількість раз, то їх об’єднують в групи і, таким чином, переходять від середньої арифметичної простої до зваженої.

Середня арифметична зважена обчислюється як частка від ділення суми добутків варіантів і їх частот на суму частот. Вона визначається за формулою:

, (5.2)

де f – частоти (ваги), які показують скільки раз зустрічаються значення ознаки в сукупності.

Отже, для обчислення середньої арифметичної зваженої потрібно: а) кожний варіант перемножити на його частоту; б) знайти суму їх добутків; в) суму добутку поділити на суму ваг.

Наведемо приклад. Маємо дані про заробітну плату робітників і число робітників, які отримують дану заробітну плату.

Табельний номер робітника	Заробітна плата одного робітника, грн. (х0	Число робітників, чол.
1 2 3 4 5	1500 1800 2000 2100 2500	10 17 40 18 15
Разом:	х	100

Середня заробітна плата за цими даними становитиме:

Іноді середні величини потрібно обчислити не з конкретних значень варіантів досліджуваної ознаки, а із значень величин, виражених у вигляді інтервалів. В таких випадках потрібно для кожного інтервалу знайти його середину за простою середньою між верхньою і нижньою межею кожного інтервалу і після цього проводити обчислення за формулою середньої арифметичної зваженої.

Покажемо обчислення середньої на основі інтервального ряду.

Розподіл виробів за вагою

Середня арифметична має деякі математичні властивості, що мають практичне значення для спрощеного обчислення середньої за даними варіаційного ряду.

Найважливіші з них такі:

1) Алгебраїчна сума відхилень всіх варіант від середньої дорівнює 0:

(5.3)

2) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на деяке постійне число А, то середня також збільшиться або зменшиться на це ж саме число

(5.4)

3) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити в d разів, то середня також збільшиться або зменшиться в стільки ж разів:

; ; (5.5)

3)Якщо кожну варіанту розділити чи помножити на довільне число, то і середня збільшиться або зменшиться на те ж саме число.

(5.6)

4)Якщо частоти всіх варіант помножити чи поділити на довільне число, то середня не зміниться.

(5.7)

5)Сума квадратів відхилень варіант від середньої менша за будь-яку іншу величину (5.8)

Використання другої і третьої середньої арифметичної дозволяє значно спростити її обчислення. Цей метод в статистиці називають методом моментів, або метод відліку від умовного нуля. Розглянемо спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної методом моментів за даними попереднього прикладу.

Формула для знаходження середньої арифметичної способом моментів має вигляд: (5.9)

де - момент першого порядку;

x – варіант;

f – частота;

A – умовно взяте число;

i – розмір інтервалу.

Визначимо момент першого порядку:

Підставляємо значення в формулу:

Отже, ми отримали той самий результат, що й при обчисленні за звичайною формулою середньої арифметичної зваженої.

Спосіб моментів використовується в тих випадках, коли вихідні дані наведені у вигляді інтервального ряду з рівними інтервалами.

В статистичній практиці часто зустрічаються випадки, коли середню потрібно обчислювати за формулою середньої гармонічної. Це відбувається тоді, коли підсумовуванню підлягають не самі варіанти, а обернені їм числа. В цьому випадку, для знаходження середнього значення варіаційної ознаки, застосовують формулу середньої гармонічної простої, яка має вигляд:

(5.10)

де п – число індивідуальних значень ознак;

– сума обернених значень ознак;

Звернемось до прикладу. Три трактори при обробітку ґрунту умовної

оранки одного гектара затратили часу: перший – 2,2 години, другий – 2,4 години, третій – 2,6 години. Визначимо середні затрати часу на обробіток одного гектара умовної оранки трактором.

Середню гармонічну зважену застосовують в тих випадках, коли є дані про індивідуальні значення ознаки в загальній сукупності і загальний обсяг сукупності, але в готовому виді немає частот.

(5.11)

де - сума добутку обернених ознак і частот, тобто , звідси .

Розглянемо приклад. Маємо дані про заробітну плату робітників завод в розрізі цехів і фонд заробітної плати.

Підставивши у формулу середньої гармонічної зваженої дані з нашого прикладу, отримаємо середню заробітну плату одного робітника по заводу в цілому.