5.3 Структурні середні

Поряд з розглянутими вище середніми, для статистичної характеристики варіаційних рядів обчислюють структурні (порядкові) середні, до яких відносять моду і медіану.

Модою називається величина ознаки (варіанта), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності.

Знаходження моди в дискретному варіаційному ряду не представляє складності. Розглянемо приклад.

Маємо розподіл студентів за їх ростом.

Очевидно, в цьому прикладі модою буде студент, який має ріст 180см., так як цьому значенню варіанти відповідає найбільше число студентів (55 чол.).

Медіана – це варіант, який займає середнє положення в рангованому варіаційному ряду.

Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряду, потрібно спочатку розташувати всі варіанти в зростаючому або спадаючому порядку. Потім визначити номер медіани, який вкаже на її розташування в рангованому ряді за формулою:

(5.12)

де M_e – медіана;

n – число варіантів.

Розглянемо приклад. Маємо дані про розподіл дев’яти деталей за їх масою.

Номер деталі	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Маса,г	2,6	3,4	3,3	2,7	3,0	2,9	2,8	3,1	3,2

Перегрупуємо деталі за їх масою в зростаючому порядку.

Номер деталі	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Маса,г	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4

Визначимо номер медіани:

Тобто під п’ятим номером від початку або від кінця ряду маса деталі буде медіаною. Ме = 3.0 г.

Коли варіаційний ряд має парну кількість членів, тоді медіана буде розраховуватись як півсума двох варіантів, які займають середнє положення в ранговому ряду. Припустимо, що в нас є ще десята деталь з масою 3,5г. Номер медіани буде рівним 5,5 . В даному випадку медіана буде розташована між п’ятим і шостим порядковим номером деталей.

Моду і медіану із інтервальних рядів визначають розрахунковим шляхом за наступними формулами:

, (5.13)

де x₀ – нижня межа модального інтервалу;

h – величина модального інтервалу;

f_m– частота модального інтервалу;

f_m-1 – частота інтервалу, попереднього модальному;

f_m+1 – частота інтервалу, який іде за модальним.

, (5.14)

де x₀– нижня межа медіанного інтервалу;

h – величина медіанного інтервалу;

– сума частот ряду;

S_me-1 – накопичена частота інтервалу, попереднього медіанному;

f_me - частота медіанного інтервалу.

Покажемо обчислення моди і медіани для інтервального варіаційного ряду на прикладі.

Розподіл 500 робітників за заробітною платою

В нашому прикладі мода знаходиться в інтервалі від 1900 до 2000 грн., тому, що йому відповідає найбільша частота (130 чол.). Цей інтервал називається модальним.

Цей показник означає, що найбільше робітників було із заробітною платою 1954,3 грн.

Щоб визначити медіану інтервального варіаційного ряду спочатку, за допомогою нагромадження частот, потрібно знайти інтервал, що містить медіану. Медіанному інтервалу відповідає перша з нагромаджених частот, яка перевищує півсуму частот всього обсягу сукупності . Отже, медіана знаходиться в інтервалі від 1900 до 2000 грн.

Це означає, що половинна робітників отримує заробітну плату меншу 1953.1 грн., а друга половина – більшу.