- •1.Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные выск, лог связки. Роль связок в естественном языке.
- •2.Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •3.Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость.
- •4.Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •14. Бинарные функции алгебры логики.
- •12.Алгебра логики. Функции алгебры логики. K-значные логики.
- •13.Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.
- •15.Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
- •19.Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •21Двойственность.
- •20. Днф, скнф, сднф, кнф. Приведение к кнф и днф.
- •25. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.
- •26.Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.
- •27.Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.
- •31. Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
- •32. Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
- •35. Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.
- •27. Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.
- •40. Методы доказательства в логике предикатов.
- •41. Исчисление предикатов. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
- •42. Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.
- •43. Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.
- •44. Метод резолюций в логике предикатов. Теорема Черча.
- •45. Принцип логического программирования.
- •46. Применение логики предикатов в логико-математической практике.
- •47. Классификация высказываний по Аристотелю
- •48. Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики
- •49. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
- •50 Метод (полной) математической индукции
- •51. Необходимые и достаточные условия
- •53. Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
- •54. Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
- •55. Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
- •56. Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
- •57 Неклассические логики.
- •58. Интуиционистская логика.
- •59. Нечеткая логика.
- •61. Временные логики. Приложение временных логик к программированию.
- •63. Многозначные логики. Трёхзначная логика я. Лукасевича. M-значная логика э. Поста.
- •64. Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.
- •65.Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
- •66. Вычисление предикатов на машине Тьюринга.
- •67. Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.
- •68. Тезис Тьюринга
- •69.Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
- •70. Машина Поста.
- •71. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •73. Вычислимость и разрешимость. Нумерация алгоритмов. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема самоприменимости, проблема пустой ленты.
- •74. Требование результативности и теория алгоритмов.
- •75. Разрешимые и перечислимые множества. Связь между разрешимостью и перечислимостью множеств. Теорема Райса.
- •63. Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •81.Полиномиальный алгоритм. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач p и np.
- •70. Недетерминированная машина Тьюринга (нмт).
- •82 Полиномиальная сводимость и np-полнота. Np-полные задачи. Примеры np-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых np-полных задач.
- •72. Теория формальных грамматик. Формальные порождающие грамматики. Язык, порождаемый грамматикой.
- •73. Классификация грамматик и порождаемых ими языков.
- •74.Неукорачивающие грамматики и разрешимость языка.
- •75.Метаязык Бэкуса.
- •76. Контекстно-свободные грамматики. Приведение контекстно-свободных грамматик.
- •77.Алгоритмические проблемы для грамматик.
- •78.Алгоритмические проблемы для контекстно-свободных грамматик.
- •82. Частичные автоматы и их минимизация.
- •83.Интерпретация автоматов. Основные проблемы абстрактной теории автоматов.
- •84.Автоматы Мура. Событие. Представление событий в автоматах.
- •59. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •5Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.
- •62.Алгоритмические логики. Принципы построения алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
- •64.Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •78.Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
- •85. Автономные автоматы.
- •86. Класс множеств, представимых конечными автоматами.
- •Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •6Основные правила получения тавтологий.
- •7Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.
- •8Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.
- •9Следование и равносильность формул.
- •17Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.
- •18Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
- •29Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.
- •33Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.
- •34Численные кванторы. Ограниченные кванторы.
- •37Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.
- •38Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.
- •39Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.
- •72Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова.
- •76Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •77Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •79Методики перехода к временным оценкам трудоёмкости алгоритмов. Пооперационный анализ. Метод Гиббсона. Метод прямого определения среднего времени.
- •1) Пооперационный анализ
- •2) Метод Гиббсона
- •3) Метод прямого определения среднего времени
- •80Сложность и кодирование. Сложность и архитектура машины.
27. Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.
Префиксной нормальной формой (ПНФ) называется формула, имеющая вид
Q1x1, Q2x2, …, QnxnF — кванторы; F — формула, не имеющая кванторов, с операциями {&, Ú, Ø}. В логике предикатов для любой формулы существует эквивалентная ей префиксная нормальная форма.
Получение ПНФ:
1) Используя формулы
P1 ~ P2 = (P1 ® P2) & (P2 ® P1),
P1 ® P2 = Ø P1 Ú P2
заменить ®, ~ на &, Ú, Ø.
2) Спустить символы отрицания непосредственно на символы предикатов
3) Для формул, содержащих подформулы вида
"xP1(x) Ú "xP2(x), $xP1(x) Ú $xP2(x),
ввести новые переменные, позволяющие использовать эквивалентные соотношения
4) С помощью эквивалентных соотношений получить формулы в виде ПНФ
Пример из тетради
40. Методы доказательства в логике предикатов.
Метод интерпретаций или методом моделей —доказательство формул, содержащих переменные, путем непосредственной постановки в них констант
Множество истинных формул порождается из исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур — правил вывода.
Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называют финитными.
Множества, порожденные такими формальными методами, называются формальными системами.
41. Исчисление предикатов. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
Исчисление предикатов — это общее название формальных систем, служащих для формализации логических умозаключений, в которых учитывается как логическая структура суждений (то есть каким образом данное суждение получено из других с помощью логических операций), так и их субъектно-предикатная структура, то есть связь между субъектом суждения (о чем говорится в данном суждении) и предикатом (что говорится о субъекте). При этом для логического анализа суждений наряду с такими логическими операциями, как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание, используются кванторы, а субъектно-предикатная структура уточняется с помощью понятия предиката.
Алфавит ИП: 1) предикатные переменные — выражения вида , где m и n — неотрицательные целые числа; 2) предметные переменные и предметные константы a1, a2, a3… 3) логические символы & (или Ù — конъюнкция), Ú (дизъюнкция), ® (импликация), ~ (эквивалентность), ¬ (отрицание), $ (квантор существования), " (квантор всеобщности); 4) вспомогательные символы (,) (скобки) и , (запятая). Выражение называется m-местной предикатной переменной; 0-местные предикатные переменные называются пропозициональными переменными.
Элементарной формулой называется всякая пропозициональная переменная, а также любое выражение вида P(y1, …, ym), где P — какая-либо m-местная предикатная переменная (m > 0), а y1, …, ym — произвольные предметные переменные. Из элементарных формул следующим образом строятся предикатные формулы:
1) все элементарные формулы суть формулы;
2) если G и F — формулы, то выражения (G & F), (G Ú F), (G ® F), (G ~ F), Ø G считаются формулами;
3) если G — формула, x — предметная переменная, то "x G и $x G суть формулы.
Аксиомы
A1. A ® (B ® A);
A2. (A ® (B®C)) ® ((A®B) ® (A®C));
A3. (ØA ® ØB) ® ((ØA ® B) ® A),где A, B и C — любые формулы исчисления предикатов.
Две следующие предикатные аксиомы (аксиомы Бернайса)
PА1. "xF(x) ® F(y),
PА2. F(y) ® $xF(x), где F(x) — любая формула, содержащая свободные вхождения x, причем не одно из них не находится в области действия квантора по y (если таковой имеется), а формула F(y) получена заменой в F(x) каждого свободного вхождения переменной x на y.
Правила вывода исчисления предикатов
правило Modus Ponens
— "-правило, позволяющее из формулы (F ® G) получить формулу (F ® "x G), где F и G — произвольные предикатные формулы, причем F не содержит свободную переменную x;
— $-правило, позволяющее при тех же предположениях относительно формул G, F и переменной x перейти от формулы (G ® F) к формуле ($x G ® F ).
"–правило, или правило обобщения
$–правило, или правило конкретизации
G(x) содержит свободное вхождение x, а F не содержит
Выводом формулы G в исчислении предикатов называется конечная последовательность формул B1, . . ., Bm такая, что каждая из формул Bi либо есть аксиома, либо получается из некоторых предшествующих ей формул по одному из перечисленных правил вывода, и Bm совпадает с G. Формула G выводима в исчислении предикатов, или является теоремой, если можно построить вывод этой формулы. Согласно теореме Геделя о полноте, все общезначимые предикатные формулы и только они выводимы в классическом исчислении предикатов.
Примеры вывода в исчислении предикатов
Пример 1. Правило переименования свободных переменных
Из выводимости формулы F(x), содержащей свободные вхождения x, ни одно из которых не находится в области действия квантора по у, следует выводимость F(y).
1) |– F(x) — по условию
2) F(x) ® (G ® F(x)) — А1, в качестве G выбираем любую доказуемую формулу, не содержащую свободных вхождений x.
3) (G ® F(x)) — из 1 и 2 по МР
4) G ® "x F(x) — правило обобщения к 3
5) "x F(x) — МР к 4 и G
6) F(y) — МР к РА1 и 5 (ч.т.д.)
Пример 2. Правило переименования связанных переменных
"x F(x) |– "y F(y), $x F(x) |– $y F(y) при условии, что F(x) не содержит свободных вхождений y и содержит свободные вхождения x, ни одно из которых не входит в область действия квантора по y.
1) |–"x F(x) — по предположению
2) "x F(x) ® F(y) — аксиома РА1
3) "x F(x) ®"y F(y) (правило обобщения к 2)
4) "y F(y) — МР к 1 и 3