- •1.Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные выск, лог связки. Роль связок в естественном языке.
- •2.Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •3.Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость.
- •4.Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •14. Бинарные функции алгебры логики.
- •12.Алгебра логики. Функции алгебры логики. K-значные логики.
- •13.Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.
- •15.Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
- •19.Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •21Двойственность.
- •20. Днф, скнф, сднф, кнф. Приведение к кнф и днф.
- •25. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.
- •26.Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.
- •27.Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.
- •31. Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
- •32. Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
- •35. Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.
- •27. Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.
- •40. Методы доказательства в логике предикатов.
- •41. Исчисление предикатов. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
- •42. Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.
- •43. Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.
- •44. Метод резолюций в логике предикатов. Теорема Черча.
- •45. Принцип логического программирования.
- •46. Применение логики предикатов в логико-математической практике.
- •47. Классификация высказываний по Аристотелю
- •48. Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики
- •49. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
- •50 Метод (полной) математической индукции
- •51. Необходимые и достаточные условия
- •53. Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
- •54. Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
- •55. Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
- •56. Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
- •57 Неклассические логики.
- •58. Интуиционистская логика.
- •59. Нечеткая логика.
- •61. Временные логики. Приложение временных логик к программированию.
- •63. Многозначные логики. Трёхзначная логика я. Лукасевича. M-значная логика э. Поста.
- •64. Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.
- •65.Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
- •66. Вычисление предикатов на машине Тьюринга.
- •67. Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.
- •68. Тезис Тьюринга
- •69.Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
- •70. Машина Поста.
- •71. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •73. Вычислимость и разрешимость. Нумерация алгоритмов. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема самоприменимости, проблема пустой ленты.
- •74. Требование результативности и теория алгоритмов.
- •75. Разрешимые и перечислимые множества. Связь между разрешимостью и перечислимостью множеств. Теорема Райса.
- •63. Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •81.Полиномиальный алгоритм. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач p и np.
- •70. Недетерминированная машина Тьюринга (нмт).
- •82 Полиномиальная сводимость и np-полнота. Np-полные задачи. Примеры np-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых np-полных задач.
- •72. Теория формальных грамматик. Формальные порождающие грамматики. Язык, порождаемый грамматикой.
- •73. Классификация грамматик и порождаемых ими языков.
- •74.Неукорачивающие грамматики и разрешимость языка.
- •75.Метаязык Бэкуса.
- •76. Контекстно-свободные грамматики. Приведение контекстно-свободных грамматик.
- •77.Алгоритмические проблемы для грамматик.
- •78.Алгоритмические проблемы для контекстно-свободных грамматик.
- •82. Частичные автоматы и их минимизация.
- •83.Интерпретация автоматов. Основные проблемы абстрактной теории автоматов.
- •84.Автоматы Мура. Событие. Представление событий в автоматах.
- •59. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •5Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.
- •62.Алгоритмические логики. Принципы построения алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
- •64.Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •78.Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
- •85. Автономные автоматы.
- •86. Класс множеств, представимых конечными автоматами.
- •Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •6Основные правила получения тавтологий.
- •7Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.
- •8Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.
- •9Следование и равносильность формул.
- •17Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.
- •18Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
- •29Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.
- •33Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.
- •34Численные кванторы. Ограниченные кванторы.
- •37Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.
- •38Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.
- •39Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.
- •72Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова.
- •76Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •77Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •79Методики перехода к временным оценкам трудоёмкости алгоритмов. Пооперационный анализ. Метод Гиббсона. Метод прямого определения среднего времени.
- •1) Пооперационный анализ
- •2) Метод Гиббсона
- •3) Метод прямого определения среднего времени
- •80Сложность и кодирование. Сложность и архитектура машины.
51. Необходимые и достаточные условия
Пусть некоторая теорема имеет вид
("x) (P(x) ® Q(x)). Это означает, что предикат P(x) ® Q(x) тождественно истинен, т.е. его множество истинности (P® Q)+ = U =(Ø P)+ È Q+ . Следовательно, P+ Í Q+, а значит предикат Q(x) является следствием предиката P(x).
("x) (P(x) ® Q(x)) означает, что условие P(x) является достаточным для Q(x), а Q(x) — необходимым для P(x).
52.
Формальные системы (ФС) – это совокупность чисто абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учета смыслового содержания, т.е. семантики.
Формальная теория Т состоит из следующих компонент:
1. Множества знаков, образующих алфавит языка теории.
2. Множества слов, составленных из знаков алфавита, называемых формулами.
3. Подмножества формул всего множества формул, называемых аксиомами.
4. Множества правил вывода, с помощью которых из формул получают формулы.
Под логическими аксиомами, как правило, понимают аксиомы (схемы) базовой логики, над которой надстраиваются конкретные теории за счет добавления новых аксиом, отражающих специфику конкретной теории. Такие аксиомы называют нелогическими.
53. Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
Формальная теория — это способ изложения логики без приписывания пропозициональным переменным, предикатам и формулам какого-либо значения. По замыслу создателей формальных теорий (Гильберт и др.) таким образом можно избежать многих неприятностей, возникающих при использовании в логике человеческого языка, допускающего двусмысленность, недосказанность, переиначивание исходно заложенного значения, смысла и т.д.
Формальная теория Т состоит из следующих компонент:
1. Множества знаков, образующих алфавит языка теории.
2. Множества слов, составленных из знаков алфавита, называемых формулами.
3. Подмножества формул всего множества формул, называемых аксиомами.
4. Множества правил вывода, с помощью которых из формул получают формулы.
Под логическими аксиомами, как правило, понимают аксиомы (схемы) базовой логики, над которой надстраиваются конкретные теории за счет добавления новых аксиом, отражающих специфику конкретной теории. Такие аксиомы называют нелогическими.
Пусть F1,…,Fn,G – формулы теории. Если существует такое правило вывода R, что (F1,…,Fn,G) принадлежит R, то говорят, что формула G непосредственно выводима из F1,…,Fn по правилу вывода R. (F1,…,Fn – посылки, G – заключение).
Выводом формулы G из формул F1,…,Fn в форм теории Т называется такая последовательность формул Е1,..,Ек, что Ек= G, а любая другая либо является аксиомой, либо исходной формулой, либо непосредственно выводима из ранее полученных формул. Если G выводима из F1,…,Fn в теории Т, то F1,…,Fn – гипотезы. Теорема – формула, выводимая только из аксиом, без гипотез).
Формальное доказательство формулы А в теории Т — это конечная последовательность формул
А1, А2, ...,Аn, где каждая формула Ai является либо аксиомой, либо получена из предыдущих с помощью одного из правил вывода, а Ап — это формула А.
Последняя формула в доказательстве называется теоремой. Используется символическая запись для теорем:
|– А (|– читается как «доказуемо А» или «А теорема». Знак |– введен в 1879 г. немецким логиком Готлобом Фреге).
Формальная теория Т разрешима, если существует алгоритм, который для любой формулы теории определяет, является лм эта формула теоремой теории.