25. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.

Формальные системы — это системы операций над объектами, понимаемыми как последовательности символов (т.е. как слова в фиксированных алфавитах); сами операции также являются операциями над символами.

Алфавит A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т.д.).

«Формальный» = объекты и операции рассматриваются чисто формально, без каких бы то ни было содержательных интерпретаций символов.

Между символами не существует никаких связей и отношений, кроме тех, которые явно описаны средствами самой формальной системы.

Принципы построения формальной теории:

Всякая точная теория определяется:

языком, т.е. некоторым множеством высказываний, имеющих смысл с точки зрения этой теории,

совокупностью теорем — подмножеством языка, состоящим из высказываний, истинных в данной теории.

Аксиоматическая (формальная) теория T считается определенной, если выполнены следующие условия:

1) задано некоторое счетное множество символов — алфавит теории T. Конечные последовательности символов теории называются выражениями теории T;

2) определяется подмножество правильно построенных выражений теории T, называемых формулами теории T — язык теории. Это подмножество задается конструктивными средствами (как правило, индуктивным определением);

3) выделяется некоторое множество формул, называемых аксиомами теории T;

Фундаментальная проблема логики, называемая проблемой вывода, состоит в следующем: определить, является ли формула B логическим следствием множества формул A.

Решение этой задачи называют выводом теоремы из аксиом.

В прямом выводе используется знание семантики тех операторов, через которые строятся аксиомы. Так, если аксиома утверждает, что A&B, то из смысла этого утверждения следует, что истинными будут высказывания A и B, которые войдут в цепочку вывода. Если известно, что истинным являются высказывания {A Ú B, `A}, то истинным будет высказывание B именно исходя из смысла этих высказываний. В прямом выводе строится цепочка высказываний F1, F2, ..., Fm которая и является выводом

26.Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.

Теорема дедукции: Если G — множество формул, A и B — формулы, и из G, A |– B, то G |– A ® B.

В частности, если A |– B, то |– A ® B

Предикат – высказательная функция, определенная на некотором множестве М, т.е. есть такая н-местная ф-ция, которая каждому упорядоченному набору на множестве М сопоставляет некоторое высказывание.

Предикат называется выполнимым, если он выполняется хотя бы для одного набора значений аргументов.

Формула А логики предикатов называется выполнимой в области М, если существуют значения переменных входящих в эту формулу и отнесенных к области М (иначе – существует модель), при которых формула А принимает истинные значения. Формула А логики предикатов называется тождественно-истинной в области М (выполнимой), если она принимает истинные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области. Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она тождественна истинна на всякой области (на любой модели).