19.Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

ДНФ – запись формулы алгебры логики в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций (сумма произведений). Элементарная конъюнкция – произведение переменных и их отрицаний. (ху или ØхØу).

СДНФ – такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция является совершенной.

Совершенная элементарная конъюнкция включает полный набор переменных и их отрицаний.

Если СДНФ существует , то она единственная.

Пример из тетради

(используем единичные наборы для составления)

Для константы 0 не существует СДНФ, зато существует ДНФ (хØх)

21Двойственность.

Функция f₁(x₁,…, x_n) называется двойственной к функции f₂(x₁,…, x_n), если.

Отношение двойственности между функциями симметрично. Из определения двойственности ясно, что для любой функции двойственная функция определяется однозначно. В частности, может оказаться, что функция двойственна самой себе. В этом случае она называется самодвойственной.

Примеры: дизъюнкция двойственна конъюнкции; константа 1 двойственна 0;отрицание самодвойственно;

20. Днф, скнф, сднф, кнф. Приведение к кнф и днф.

ДНФ – запись формулы алгебры логики в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций (сумма произведений). Элементарная конъюнкция – произведение переменных и их отрицаний. (ху или НЕ х * НЕ у).

СДНФ – такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция является совершенной.

Совершенная элементарная конъюнкция включает полный набор переменных и их отрицаний.

КНФ – запись логической функции в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций (произведение сумм)

Элем дизъюнкция – дизъюнкция переменных или их отрицания.

СКНФ – такая КНФ, в которой каждая элемент дизъюнкция явл совершенной.

Пример из тетради

(используем нулевые наборы для составления)

Для константы 1 не существует СКНФ, но существует КНФ (хÙØх)

Процедура приведения к ДНФ: 1)Все отрицания спустить до переменных с помощью 8 и 5. 2)Раскрыть скобки с помощью 1 и 3. 3) Удалить лишние конъюнкции и повторения переменных с помощью 4, 9, 10. 4) Удалить константы с помощью 6 и 7. Процедура приведения ДНФ к СДНФ состоит в расщеплении (обратном склеивании) конъюнкций, которые содержат не все переменные.

Переход от КНФ к ДНФ и обратно всегда осуществим (обычно, с помощью формул Де Моргана).

16. Эквивалентные формулы. Способы установления эквивалентности формул.

Формулы, представляющие одну и ту же функцию, называют эквивалентными или равносильными.

Стандартный метод установления эквивалентности: 1) по каждой формуле восстанавливается таблица истинности функции, а затем 2) полученные таблицы сопоставляются по каждому набору значений переменных

22. Алгебра Вебба, алгебра Шеффера, импликативная алгебра, коимпликативная алгебра, алгебра Жегалкина.

• алгебра Вебба A = áMño ,;

• алгебра Шеффера A = áM, ñ½;

• импликативная алгебра A = áM,® , 0ñ;

• коимпликативная алгебра A = áM,® , 1ñ;

• алгебра Жегалкина A = áM, &, ,Å 1ñ.

– - Трехзначная функция — функция Вебба.

Конечнозначная алгебра Вебба

24. Конечнозначные логики. Алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера–Тьюкетта.

Функция , отображающая n-мерный k-значный кортеж

в множество {0, 1, ..., k – 1}, называется функцией k-значной логики. Будем задавать функцию k-значной логики с помощью таблицы истинности (одномерной таблицы), число строк которой равно kn, или двумерной таблицы, число клеток которой равно k2.

23.Полиномы Жегалкина. Процедура приведения к ПНФ.

Определение. Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями называется алгеброй Жегалкина.

Замечание. Операция вполне аналогична операции конъюнкции (логического умножения). Однако операция имеет совершенно другой математический смысл, чем дизъюнкция (соответствующая функция ранее была названа неравнозначностью). Поэтому никак нельзя считать алгебру Жегалкина иной формой записи булевой алгебры.

В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения (знак умножения опущен):

1.1. ,

1.2. ,

1.3 ,

1.4 .

Кроме того, выполняются соотношения, ранее сформулированные булевой алгебры, относящиеся к конъюнкции и константам. Отрицание и дизъюнкция выражаются так:

1.5 ,

1.6 .

Если в произвольной формуле алгебры Жегалкина раскрыть скобки и произвести все упрощения по вышеуказанным соотношениям, то получится формула, имеющая вид Суммы произведений, то есть полином (многочлен) по модулю 2. Такая формула называется полиномом Жегалкина для данной функции:P =__x__x₂ + ..._nx_n +_{n +1}x_x₂ +...+_{n +C}²_nx_n-1x_n + ...+_2n-1x_x₂..xn( + означает сложение по модулю 2, коэффициенты _, __ⁿ_-1   являются константами (равными нулю или единице).

От булевой формулы всегда можно перейти к формуле алгебры Жегалкина, используя равенства 1.5 и 1.6, а также прямое следствие из равенства 1.6: если , то . Оно, в частности, позволяет заменять знак дизъюнкции знаком в случаях, когда исходная формула представляет собой СДНФ.

Пример:

Теорема. Любая функция п переменных может быть представлена полиномом Жегалкина и это представление единственно.

Доказательство. Любая функция f(x₁, x₂, …, x_n) имеет свою таблицу истинности. Запишем сначала данную функцию в виде полинома Жегалкина с неопределенными коэффициентами. Затем по очереди подставляем всевозможные наборы переменных и находим коэффициенты. Легко видеть, что за каждую подстановку находим только один коэффициент. Так как число наборов равно числу коэффициентов (и равно 2^п), отсюда следует утверждение теоремы.

Доказательство этой теоремы показывает, как по таблице истинности построить полином Жегалкина.

Имеется 2-й способ нахождения полинома Жегалкина для функций, заданных в виде ДНФ. Этот способ основан на 1.5. Если функция задана в виде ДНФ, то сначала убираем дизъюнкцию, используя при этом правило де Моргана, а все отрицания заменяем прибавлением единицы. После этого раскрываем скобки по обычным правилам, при этом учитываем, что четное число одинаковых слагаемых равно нулю (из-за 1.3), а нечетное число одинаковых слагаемых равно одному такому слагаемому.