46. Применение логики предикатов в логико-математической практике.

1. Запись на языке логики предикатов различных математических предложений.

2. Применение ЛП к логико-математической практике — построение доказательств различных теорем, основанное на теории логического следования

3. Приложение логики предикатов к теории множеств, к анализу Аристотелевой силлогистики.

47. Классификация высказываний по Аристотелю

Содержание любого простого высказывания («категорического суждения») может быть сведено к утверждению о наличии или отсутствии у предметов определенных свойств. Утверждения могут относиться как к отдельным предметам, так и к классам предметов; быть утвердительными и отрицательным.

Шесть типов простых высказываний

• единичноутвердительные

• единичноотрицательные

• общеутвердительные

• общеотрицательные

• частноутвердительные

• частноотрицательные

48. Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики

Аристотель выделил важнейший тип дедуктивных умозаключений — силлогизмы.

Аристотелев силлогизм — схема логического вывода, состоящая из трех простых высказываний одного из четырех указанных видов A, E, I, O: два первых — посылки, третье — заключение.

Структура умозаключения. В них рассматриваются три свойства (термины): S, M, P. Первая посылка (большая) — простое высказывание, связывающая M и P. Вторая посылка (малая) связывает M и S. Следствие связывает S и P, причем в следствии S выступает в качестве субъекта, а P — в качестве предиката. В зависимости от расположения M может быть четыре вида (фигуры силлогизмов).

49. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме

Теорема об обратимости импликаций

Пусть справедливо следующее (m ³ 2):

("x)(P1(x) ® Q1(x)), ("x)(P2(x) ® Q2(x)), ... , ("x)(Pm(x) ® Qm(x)).

Причем для посылок известно, что истинно утверждение ("x)(P1(x) Ú P2(x) Ú ... Ú Pm(x)), а следствия попарно исключают друг друга, т.е. истинны все высказывания Ø($x)(Qi(x) Ù Qj(x)) (i, j=1,…, m, i ¹ j).

Тогда справедливы и обратные импликации:

("x)(Q1(x) ® P1 (x)), ("x)(Q2(x) ® P2(x)), ... , ("x)(Qm(x) ® Pm(x)).

(Предполагается, что все предикаты заданы над одним и тем же множеством)

Частный случай теоремы об обратимости системы импликаций при m ³ 2

Теорема.

Пусть справедливо следующее:

("x)(P(x) ® Q1(x)), ("x)(ØP(x) ® Q2(x)), причем следствия Q1(x) и Q2(x) исключают друг друга, т.е. истинно высказывание Ø($x)(Q1(x) Ù Q2(x)).

Тогда справедливы обратные теоремы:

("x)(Q1(x) ® P(x)), ("x)(Q2(x) ® ØP(x)).

50 Метод (полной) математической индукции

Специальный метод, применяемый для доказательства истинности утверждений типа ("x Î N)(P(x)), т.е. ("x) (x Î N ® P(x)). Такие утверждения выражают тот факт, что некоторое свойство P присуще каждому натуральному числу.

Формальная основа — аксиома индукции, выражающая свойства естественного отношения порядка, имеющегося на множестве всех натуральных чисел.

Если свойством P обладает число 1 и для всякого натурального числа из того, что оно обладает этим свойством, следует, что и непосредственно следующее за ним натуральное число также обладает им, то и всякое натуральное число обладает свойством P.

Символически: (P(1) Ù ("x) (P(x) ® P(x+1))) ®("y)(P(y)).

Логическая схема доказательства методом математической индукции:

(1) P(1) — устанавливается проверкой;

(2) ("x) (P(x) ® P(x+1)) — доказывается;

(3) P(1) Ù ("x) (P(x) ® P(x+1)) — из (1) и (2) по правилу введения конъюнкции;

(4) (P(1) Ù ("x)(P(x) ® P(x+1))) ®("y)(P(y)) — аксиома индукции;

(5) ("y)(P(y)) — из (3) и (4) по МР.

P(1) — основание индукции;

предположение об истинности P(x) — предположение индукции;

доказательство истинности P(x+1) — шаг индукции.