6Основные правила получения тавтологий.

Модус поненс

Если формулы F u F -> H являются тавтологиями, то H тоже тавтология.

Правило подстановки

Пусть в формуле F содержится пропозиц переменная X и H произв формула. Если в F вставить вместо X везде Н, то получим новую формулу.S,вверху Н внизу Х индексы, F

Пропозициональная переменная-переменная, область значений которой состоит из двух истинностных значений: "истина" и "ложь".

7Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.

Формулы F(X1,X2, ...,Xn) и H(X1,X2, ...,Xn) алгебры высказываний являются равносильными, если при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных логические значения получающихся из формул F и Н высказываний совпадают.( пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и логическое высказывание - повествоват предлож, которое либо равно 1 или 0). F ~= H. Теорема: Две формулы F и H являются равносильными, когда формула F<->Н является тавтологией. Напрашивается самый простой из способов: если две формулы построены из одних и тех же переменных, сравниваем их таблицы истинности, выписываемые для одинаково упорядоченных по счётчиковому принципу наборов значений переменных. Если заключительные столбцы этих таблиц (наборы значений формул) совпадают, они, конечно же, равносильны.

3 основных свойства:

рефлексивность F ~= F,

симметричность если F1~=F2 , то F2~=F1

Транзитивность если F1~=F2 и F2~=F3 , то F1~=F3

8Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.

Формула алгебры высказываний H(X1,X2, ...,Xn) называется логическим следствием формул F1(X1,X2, ...,Xn), ..., Fm(X1,X2, ...,Xn) , если для любого набора высказываний A1,A2, ...,An из равенств лямбда(F1(A1,A2, ...,An)) = 1, ..., лямбда(Fm(A1,A2, ...,An)) = 1 следует что лямбда(H(A1,A2, ...,An)) = 1. F1, F2, ..., Fm это посылки.Признаки:

Формула H является логическим следствием формулы F, если формула F <-> H тавтология

Для любых формул F1, F2, ..., Fm,H , m >= 2 следущие утверждения равносильны:

(1) F1, F2, ..., Fm |= H ;

(2) F1 ^ F2 ^ ... ^ Fm |= H ;

(3) |= (F1 ^ F2 ^ ... ^ Fm) ->H .

Чтобы установить, следует ли логически формула В исчисления предикатов из множества формул А1, А2,..., am (м > 1), необходимо, как и в исчислении высказываний, построить соответствующую таблицу истинности и убедиться в том что формула В будет иметь истинное значение во всех тех строках, где А1, А2,..., Аm одновременно являются истинными, и это условие выполняется во всех универсумах рассуждения.

(1) F1, F2, ..., Fm |= Fj для всех j = 1, 2, ...,m;

(2) если F1, F2, ..., Fm |= Gj для j = 1, 2, ..., p , и G1,G2, ...,Gp |= H , то F1, F2, ..., Fm |= H .

9Следование и равносильность формул.

Две формулы алгебры логики А и В называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе входящих в формулы элементарных высказываний. Формула F2 следует из формулы F1, если их импликация есть тавтология, или F1 => F2, если F1 → F2 - тавтология. Тавтология - формула, которая истинна при любом наборе значений входящих в неё переменных. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня