17Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.

Бу́лева фу́нкция от n переменных —отображение В^n → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0.

Система булевых функций {f1, f2, …, fm} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции этой системы с помощью составления из них сложных функций. Составление сложных функций из элементарных функций системы называется суперпозицией.

Пусть К – некоторое подмножество элементарных функций. Замыканием подмножества К называется множество булевых функций, представимых в виде формул через функции К. Обозначение замыкания : [K].

Базис это набор операций, через которые можно выразить все остальные операции. Множество функций C = { x1, x1x2, x1x2x3, ..., x1x2...xn } образует замкнутый класс конъюнкции.

ФПБ: Система булевых функций W называется функционально-полной, если произвольная булева функция вида f (x1, x2, ..., xn) может быть представлена суперпозицией функций x1, x2, ... ,xn и суперпозицией конечного числа функций системы W.

• {°} (Функция Вебба),

• {½} (штрих Шеффера);

• {®, 0}, { ®, 1},

• { &, Å, 1}

• и другие.

• Наиболее изученным является базис {&, Ú, Ø}.

Классы Поста: Замкнутый класс в теории булевых функций — такое множество P функций алгебры логики, замыкание которого относительно операции суперпозиции совпадает с ним самим: [P] = P. Другими словами, любая функция, которую можно выразить формулой с использованием функций множества P, снова входит в это же множество.

Класс T0 функций, сохраняющих константу 0:

Класс T1 функций, сохраняющих константу 1:

Класс S самодвойственных функций:

Класс M монотонных функций;Класс L линейных функций;

Система булевых функций F является полной тогда и только тогда, когда она не содержится полностью ни в одном из классов, т.е. когда в ней имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая 0, хотя бы одна функция, не сохраняющая 1, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

18Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.

Алгебра (Р₂; &, Ú, Ø), основным множеством которой является множество всех логических функций Р₂, а операциями дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических операций. Операции булевой алгебры часто называют булевыми операциями

ассоциативность aÚ(bÚc)=(aÚb)Úc, aÙ(bÙc)=(aÙb)Ùc;

коммутативность aÚb=bÚa, aÙb=bÙa;

дистрибутивность aÙ(bÚc)=aÙbÚaÙc; aÚbÙc=(aÚb)Ù(aÚc);

идемпотентность aÚa=a, aÙa=a;

двойное отрицание ØØa=a;

законы нуля (лжи) aÚ0=a, aÙ0=0, aÙØa=0;

законы единицы (истины) aÚ1=1, aÙ1=a, aÚØa=1.

де-Моргана ØaÚØb=Ø(aÙb), ØaÙØb=Ø(aÚb);

противоречия aÙØа=0;

исключенного третьего aÚØа=1

29Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.

Пусть S – множество фраз Хорна. : При условии Ложь Ï S, выбираем p и с, такие что:

p – унитарный позитивный дизъюнкт из S

c – дизъюнкт из S, содержащий Øp

вычисляем резольвенту r;заменяем множество S на (S/{c}È{r}).

Таким образом, на каждом этапе одна фраза Хорна заменяется другой, и некоторый атом удаляется из одного дизъюнкта. Отсюда следует, что выполнение алгоритма всегда завершается, какая бы стратегия ни была принята при выборе p и с. Если N – число атомов, первоначально присутствующих в S (c учётом повторений), то процедура вычисления резольвенты будет выполняться N раз.

Существует два случая завершения алгоритма: либо порождён пустой дизъюнкт, тогда множество будет не выполнимым, либо получено множество S, не содержащее дизъюнктов для вычисления очередной резольвенты, тогда множество S будет выполнимым.