42. Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.

Теорема 1. Всякая доказуемая формула исчисления предикатов тождественно-истинна (общезначима)

Теорема 2. Всякая общезначимая предикатная формула доказуема в исчисления предикатов.

Теорема 3. Пусть F(А) — формула, в которой выделено вхождение формулы А; F(В) — формула, полученная из F(А) заменой этого вхождения А формулой В. Тогда если -| А ~ В, то -| F(А) ~ F(В).

Благодаря теореме 3) можно получать доказуемые эквивалентности в исчислении, не строя их непосредственного вывода.

1) если -| А ~ В, то -| А ® С ~ В® С и -| С® А ~ С® В;

2) если -| А ~ В, то -| А Ú С ~ В Ú С и -| СÚ А ~ С Ú В;

3) если -| А ~ В, то -| А & С ~ В & С и -| С & А ~ С & В;

4) если -| А ~ В, то -| Ø А~Ø В;

5) если -| F(x) ~ G(x), то -| "x F(x) ~ "x G(x);

6) если -| F(x) ~ G(x), то -| $x F(x) ~ $x G(x).

Эквивалентные преобразования.

(А и B — формулы, не содержащие свободных вхождений x)

(1) А & "x F(x) ~ "x(А & F(x))

(2) А Ú $x F(x) ~ $x(А Ú F(x))

(3) А &$x F(x) ~ $x(А & F(x))

(4) А Ú"x F(x) ~ "x(А Ú F(x))

(5) А ® "x F(x) ~ "x(А® F(x))

(6) А $®x F(x) ~ $x(А® F(x))

(7) "x F(x) ® B ~ $x (F(x) ® B)

(8) $x F(x) ® B ~ "x (F(x) ® B)

43. Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.

Некоторые важные эквивалентности, выводимые в ИП. (А и B — формулы, не содержащие свободных вхождений x),

(1) А & "x F(x) ~ "x(А & F(x)),

(2) А Ú $x F(x) ~ $x(А Ú F(x)),

(3) А &$x F(x) ~ $x(А & F(x)),

(4) А Ú"x F(x) ~ "x(А Ú F(x)),

(5) А ® "x F(x) ~ "x(А® F(x)),

(6) А $®x F(x) ~ $x(А® F(x)),

(7) "x F(x) ® B ~ $x (F(x) ® B),

(8) $x F(x) ® B ~ "x (F(x) ® B).

1)—(8), а также

(9) "x(P1(x) & P2(x)) ~ "x P1(x) & "x P2(x)

(10) $x(P1(x) Ú P2(x)) ~ $xP1(x) Ú $x P2(x))

позволяют выносить кванторы вперед.

Используя

(11) Ø$x P(x) ~ "xØ P(x)

(12) Ø"x P(x) ~ $xØ P(x)

и правила переименования переменных, кванторы можно вынести вперед для любой формулы.

Формула, имеющая вид Q1x1 Q2x2 …QnxnF, где Q1, Q2, …, Qn — кванторы; F — формула, не имеющая кванторов, и являющаяся областью действия всех n кванторов, называется предваренной формулой, или формулой в предваренной форме.

В исчислении предикатов для любой формулы F существует эквивалентная ей предваренная форма.

Пример 1. Приведем к предваренной форме "y (P1(y) Ú Ø$x P2(x, y))

1) "y (P1(y) Ú Ø$x P2(x, y))

2) "y (P1(y) Ú "xØ P2(x, y)) — по (11)

3) "y"x (P1(y) Ú Ø P2(x, y)) — по (4)

Сколемовская форма – это такая предварённая форма, в которой исключены кванторы существования.

Сколемовское преобразование (исключение $-квантификации):

-сопоставить каждой $-квантифицированной переменной список "-квантифицированных переменных, предшествующих ей, а также некоторую ещё не использованную функциональную константу, число мест у которой равно мощности списка.

-В матрице формулы заменить каждое вхождение каждой $-квантифицированной переменной на некоторый терм. Этот терм является функциональной константой со списком аргументов, соответствующих предшествующим "-квантифицированным переменным и называется сколемовской функцией.

-Устранить из формулы все $-квантификации.

Пример 1. Пусть формула имеет вид: $u"v$w"x"y$z M(u, v, w, x, y, z).

Ей соответствует сколемовская форма:

"v "x"y M(a, v, f(v), x, y, g(v, x, y))

где w заменена на f(v) и z – на g(v, x, y) – сколемовские функции

Клаузальной формой называется такая сколемовская форма, матрица которой является КНФ. Любая сколемовская форма допускает эквивалентную клаузальную форму