54. Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.

Формальная теория называется полной, если для всякого высказывания А имеем:

|– А или |– Ø А.

По замыслу создателя исчисления предикатов Фреге, любая правильно построенная формула, точнее высказывание, должна быть теоремой, т.е. должна быть доказываемым утверждением.

Формальная теория называется непротиворечивой, если в ней не является доказуемой формула

А &ØА, где А — произвольное высказывание теории. (Никакая из аксиом не выводима из остальных по правилам вывода теории Т)

Формальная теория Т разрешима, если существует алгоритм, который для любой формулы теории определяет, является лм эта формула теоремой теории.

Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний

Теорема 1. Для исчисления высказываний справедливо утверждение:

|= А тогда и только тогда, когда |– А

Теорема 2. Исчисление высказываний — полная теория.

Теорема 3. Исчисление высказываний — непротиворечивая теория.

Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов

Теорема 1 (Гёдель, 1930). Для исчисления предикатов справедливо утверждение:

|= А тогда и только тогда, когда |– А

Теорема 2. Исчисление предикатов — полная теория.

Теорема 3. Исчисление предикатов — непротиворечивая теория.

55. Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.

Появление в теории аксиом, разрешающих «навешивание кванторов» по знакам операций или предикатов, приводит к исчислениям высших порядков. Исчисление предикатов – теория I порядка. Логика I порядка - исчисление, где кванторы ,  всегда действуют на множ. предмет. переменных. Логика II порядка позволяет действовать одному из кванторов на подмнож.(не обязательно конечных) множ. предмет. переменных и на функциональных символах. Слабая логика II порядка позволяет действие кванторов на конеч.подмнож. множ-ва предмет.переменных и на множ.нат.чисел N. Логика III порядка позволяет действие кванторов на множ.функц.символов.

Этот язык исчисления предикатов образует теорию, которую называют узким (или чистым) исчислением предикатов. Прикладное исчисление предикатов - расширение узкого исчисления предикатов добавлением новых знаков индивидуальных констант, операций(знаков функций, знаков операций), знаков предикатов, новых аксиом, связывающих новые знаки и новых правил вывода.

Эгалитарная теория(теория с равенством). Содержит исчисление предикатов, имеет двухместный предикат =(,), для него выполняются нелогические аксиомы: 1. x(=(x,x)); 2. =(x,y)(A(..,x,..,y,..)A(..,y,..,y,..)). А – формула. Вместо =(x,y) пишут x=y.

Формальная арифметика – эгалитарное прикладное исчисление, в котором: 1. Предметная конст. 0. 2. Двухместные операции + и  и одноместная . И два условия эгалитарной теории.И нелогические аксиомы: (A(0)xA(x)A(x))xA(x); (t₁=t₂) (t₁=t₂); (t₁=t₂)(t₁=t₂); ( t=0); (t₁=t₂)((t₂=t₃) (t₁=t₃)); t+0=t; t0=0; (t₁+t₂)=(t₁+t₂); t₁t₂ t₁t₂+ t₁.A – любая формула, t ,t₁,t₂,t₃ – любые термы.

Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики. Непротиворечивость формальной арифметики доказывается в более широкой формальной теории, содержащей арифметику и принцип трансфинитной индукции(метод матем. индукции, усиленный за счет расширения области его применения до трансфинитных чисел, множ-ва большего, чем нат. числа).