- •1.Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные выск, лог связки. Роль связок в естественном языке.
- •2.Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •3.Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость.
- •4.Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •14. Бинарные функции алгебры логики.
- •12.Алгебра логики. Функции алгебры логики. K-значные логики.
- •13.Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.
- •15.Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
- •19.Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •21Двойственность.
- •20. Днф, скнф, сднф, кнф. Приведение к кнф и днф.
- •25. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.
- •26.Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.
- •27.Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.
- •31. Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
- •32. Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
- •35. Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.
- •27. Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.
- •40. Методы доказательства в логике предикатов.
- •41. Исчисление предикатов. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
- •42. Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.
- •43. Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.
- •44. Метод резолюций в логике предикатов. Теорема Черча.
- •45. Принцип логического программирования.
- •46. Применение логики предикатов в логико-математической практике.
- •47. Классификация высказываний по Аристотелю
- •48. Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики
- •49. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
- •50 Метод (полной) математической индукции
- •51. Необходимые и достаточные условия
- •53. Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
- •54. Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
- •55. Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
- •56. Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
- •57 Неклассические логики.
- •58. Интуиционистская логика.
- •59. Нечеткая логика.
- •61. Временные логики. Приложение временных логик к программированию.
- •63. Многозначные логики. Трёхзначная логика я. Лукасевича. M-значная логика э. Поста.
- •64. Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.
- •65.Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
- •66. Вычисление предикатов на машине Тьюринга.
- •67. Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.
- •68. Тезис Тьюринга
- •69.Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
- •70. Машина Поста.
- •71. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •73. Вычислимость и разрешимость. Нумерация алгоритмов. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема самоприменимости, проблема пустой ленты.
- •74. Требование результативности и теория алгоритмов.
- •75. Разрешимые и перечислимые множества. Связь между разрешимостью и перечислимостью множеств. Теорема Райса.
- •63. Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •81.Полиномиальный алгоритм. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач p и np.
- •70. Недетерминированная машина Тьюринга (нмт).
- •82 Полиномиальная сводимость и np-полнота. Np-полные задачи. Примеры np-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых np-полных задач.
- •72. Теория формальных грамматик. Формальные порождающие грамматики. Язык, порождаемый грамматикой.
- •73. Классификация грамматик и порождаемых ими языков.
- •74.Неукорачивающие грамматики и разрешимость языка.
- •75.Метаязык Бэкуса.
- •76. Контекстно-свободные грамматики. Приведение контекстно-свободных грамматик.
- •77.Алгоритмические проблемы для грамматик.
- •78.Алгоритмические проблемы для контекстно-свободных грамматик.
- •82. Частичные автоматы и их минимизация.
- •83.Интерпретация автоматов. Основные проблемы абстрактной теории автоматов.
- •84.Автоматы Мура. Событие. Представление событий в автоматах.
- •59. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •5Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.
- •62.Алгоритмические логики. Принципы построения алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
- •64.Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •78.Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
- •85. Автономные автоматы.
- •86. Класс множеств, представимых конечными автоматами.
- •Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •6Основные правила получения тавтологий.
- •7Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.
- •8Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.
- •9Следование и равносильность формул.
- •17Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.
- •18Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
- •29Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.
- •33Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.
- •34Численные кванторы. Ограниченные кванторы.
- •37Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.
- •38Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.
- •39Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.
- •72Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова.
- •76Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •77Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •79Методики перехода к временным оценкам трудоёмкости алгоритмов. Пооперационный анализ. Метод Гиббсона. Метод прямого определения среднего времени.
- •1) Пооперационный анализ
- •2) Метод Гиббсона
- •3) Метод прямого определения среднего времени
- •80Сложность и кодирование. Сложность и архитектура машины.
59. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
Всякий алгоритм однозначно ставит в соответствие исходным данным результат. Поэтому с каждым алгоритмом однозначно связана функция, которую он вычисляет.
Верно ли обратное: для всякой ли функции существует вычисляющий ее алгоритм?
Вопрос: для каких функций алгоритмы существуют? Как описать такие алгоритмические, эффективно вычислимые функции?
Примитивно-рекурсивные функции
Очевидно, константы — вычислимые функции
Достаточно одной константы 0 и функции следования f(x) = x + 1 (х¢)
Кроме того, в базис включим семейство функций тождества (или введения фиктивных переменных):
Средства получения новых функций из уже имеющихся
Оператором суперпозиции называется подстановка в функцию от m переменных m функций от n одних и тех же переменных. Она дает новую функцию от n переменных. Например, для функций h(x1, ..., xm), gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn)
(h, gl, …, gm) = h(gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn)) = f(x1, ..., xn)
Функция называется примитивно-рекурсивной, если она может быть получена из константы 0, функции х¢ и функций Inm с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.
1. Функции 0, х¢ и Inm для всех натуральных n, m, где m £ n, являются примитивно-рекурсивными.
2. Если gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn), h(x1, ..., xm) — примитивно-рекурсивные функции, то (h, gl, …, gm) примитивно-рекурсивные функции для любых натуральных n, m.
3. Если g(x1, ..., xn) и h(x1, ..., xт, у, z) —примитивно-рекурсивные функции, то Rn(g, h) — примитивно-рекурсивная функция.
4. Других примитивно-рекурсивных функций нет.
Примеры: Умножение, Возведение в степень ,Арифметическое или урезанное вычитание, Cигнум (sg(x)=0, если x=0 и sg(x)=1, если x ¹ 0),модуль разности, минимум двух чисел, максимум двух чисел, деление (остаток и целая часть), «арифметизированные» логических функций
Оператор называется примитивно-рекурсивным, если он сохраняет примитивную рекурсивность функций, т. е. если результат его применения к примитивно-рекурсивным функциям дает снова примитивно-рекурсивную функцию.
Оператор условного перехода примитивно-рекурсивен, как и его обобщение на случай многозначного перехода.
Операторы суммирования и умножения с пределами примитивно-рекурсивны
Ограниченный оператор минимизации m примитивно-рекурсивен.
Функция называется частично-рекурсивной, если она может быть построена из простейших функций 0, х+1, с помощью конечного числа применений суперпозиции, примитивной рекурсии и m-оператора.
Частично-рекурсивная функция называется общерекурсивной, если она всюду определена.
Тезис Черча: всякая функция, вычислимая некоторым алгоритмом, частично-рекурсивна.
Теорема. Функция вычислима машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда она частично-рекурсивна.
5Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.
Формула алгебры высказываний F(X1,X2, ...,Xn) называется тавтологией, если она превращается в истинное высказывание при любой подстановки конкретных высказываний А1 А2 Аn ,те функция истинности лямбда от F равна 1. ((¬X –> Y ) и (¬X –> ¬Y )) –> X
Закон искл третьего P U ¬P Закон отриц противоречия ¬(P ^ ¬P) ;
Закон двойного отрицания ¬¬P <-> P ;
Закон тождества P –> P ;
Закон контрпозиции (P -> Q) <-> (¬Q -> ¬P) ;
Закон силлогизма ((P -> Q) ^ (Q -> R)) -> (P -> R) ;
Закон противоположности(P ->Q) -> (¬P -> ¬Q) ;
Правило добавления антецедента P -> (Q -> P) ;
Правило из ложного что угодно ¬P -> (P -> Q) ;
Правило модус поненс (P ^ (P -> Q)) -> Q;
Правило модус толленс ((P -> Q) ^ ¬Q) -> ¬P ;
Правило перестановки посылок (P -> (Q -> R)) <-> (Q -> (P ->R)) ;
Правило объединения посылок (P -> (Q -> R)) <-> ((P ^ Q) ->R) ;
Правило разбора случаев ((P -> R) ^ (Q ->R)) <-> ((P U Q) -> R) ;
Правило приведения к абсурду ((¬P -> Q) ^ (¬P -> ¬Q)) -> P ;
Законы поглощения (P ^ (P U Q)) <-> P , (P U (P ^ Q)) <-> P ;
Законы де Моргана ¬(P ^ Q) <-> (¬P U ¬Q) , ¬(P U Q) <-> (¬P ^ ¬Q) ;