- •1.Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные выск, лог связки. Роль связок в естественном языке.
- •2.Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •3.Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость.
- •4.Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •14. Бинарные функции алгебры логики.
- •12.Алгебра логики. Функции алгебры логики. K-значные логики.
- •13.Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.
- •15.Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
- •19.Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •21Двойственность.
- •20. Днф, скнф, сднф, кнф. Приведение к кнф и днф.
- •25. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.
- •26.Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.
- •27.Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.
- •31. Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
- •32. Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
- •35. Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.
- •27. Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.
- •40. Методы доказательства в логике предикатов.
- •41. Исчисление предикатов. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
- •42. Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.
- •43. Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.
- •44. Метод резолюций в логике предикатов. Теорема Черча.
- •45. Принцип логического программирования.
- •46. Применение логики предикатов в логико-математической практике.
- •47. Классификация высказываний по Аристотелю
- •48. Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики
- •49. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
- •50 Метод (полной) математической индукции
- •51. Необходимые и достаточные условия
- •53. Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
- •54. Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
- •55. Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
- •56. Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
- •57 Неклассические логики.
- •58. Интуиционистская логика.
- •59. Нечеткая логика.
- •61. Временные логики. Приложение временных логик к программированию.
- •63. Многозначные логики. Трёхзначная логика я. Лукасевича. M-значная логика э. Поста.
- •64. Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.
- •65.Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
- •66. Вычисление предикатов на машине Тьюринга.
- •67. Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.
- •68. Тезис Тьюринга
- •69.Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
- •70. Машина Поста.
- •71. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •73. Вычислимость и разрешимость. Нумерация алгоритмов. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема самоприменимости, проблема пустой ленты.
- •74. Требование результативности и теория алгоритмов.
- •75. Разрешимые и перечислимые множества. Связь между разрешимостью и перечислимостью множеств. Теорема Райса.
- •63. Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •81.Полиномиальный алгоритм. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач p и np.
- •70. Недетерминированная машина Тьюринга (нмт).
- •82 Полиномиальная сводимость и np-полнота. Np-полные задачи. Примеры np-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых np-полных задач.
- •72. Теория формальных грамматик. Формальные порождающие грамматики. Язык, порождаемый грамматикой.
- •73. Классификация грамматик и порождаемых ими языков.
- •74.Неукорачивающие грамматики и разрешимость языка.
- •75.Метаязык Бэкуса.
- •76. Контекстно-свободные грамматики. Приведение контекстно-свободных грамматик.
- •77.Алгоритмические проблемы для грамматик.
- •78.Алгоритмические проблемы для контекстно-свободных грамматик.
- •82. Частичные автоматы и их минимизация.
- •83.Интерпретация автоматов. Основные проблемы абстрактной теории автоматов.
- •84.Автоматы Мура. Событие. Представление событий в автоматах.
- •59. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •5Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.
- •62.Алгоритмические логики. Принципы построения алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
- •64.Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •78.Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
- •85. Автономные автоматы.
- •86. Класс множеств, представимых конечными автоматами.
- •Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •6Основные правила получения тавтологий.
- •7Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.
- •8Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.
- •9Следование и равносильность формул.
- •17Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.
- •18Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
- •29Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.
- •33Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.
- •34Численные кванторы. Ограниченные кванторы.
- •37Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.
- •38Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.
- •39Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.
- •72Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова.
- •76Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •77Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •79Методики перехода к временным оценкам трудоёмкости алгоритмов. Пооперационный анализ. Метод Гиббсона. Метод прямого определения среднего времени.
- •1) Пооперационный анализ
- •2) Метод Гиббсона
- •3) Метод прямого определения среднего времени
- •80Сложность и кодирование. Сложность и архитектура машины.
78.Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
Тео́рия алгори́тмов — наука, изучающая общие свойства и закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества алгоритмов.
Целью анализа трудоёмкости алгоритмов является нахождение оптимального алгоритма для решения данной задачи. В качестве критерия оптимальности алгоритма выбирается трудоемкость алгоритма, понимаемая как количество элементарных операций, которые необходимо выполнить для решения задачи с помощью данного алгоритма. Функцией трудоемкости называется отношение, связывающие входные данные алгоритма с количеством элементарных операций.
Трудоёмкость алгоритмов по-разному зависит от входных данных. Для некоторых алгоритмов трудоемкость зависит только от объема данных, для других алгоритмов — от значений, данных, в некоторых случаях порядок поступления данных может влиять на трудоемкость. Трудоёмкость многих алгоритмов может в той или иной мере зависеть от всех перечисленных выше факторов.
85. Автономные автоматы.
86. Класс множеств, представимых конечными автоматами.
Конечным автоматом называется система M ={А, S, B, , }, в которой А = {а1, ..., am}, S ={s1, ..., sn}, B ={b1, ..., bk} — конечные множества (алфавиты), а : А S S и : А S B — функции, определенные на этих множествах. А называется входным алфавитом, B — выходным алфавитом, S — алфавитом состояний, — функцией переходов, — функцией выходов. Если, кроме того, в автомате M выделено одно состояние, называемое начальным (обычно будет считаться, что это s1), то полученный автомат называется инициальным и обозначается (M, s1). Способы задания автоматов: таблица переходов автомата, или просто автоматная таблица, ориентированный мультиграф, называемый графом переходов или диаграммой переходов. Для любого графа переходов в каждой вершине si выполнены следующие условия, которые называются условиями корректности: 1) для любой входной буквы aj имеется дуга, выходящая из si, на которой написано aj (условие полноты); 2) любая буква aj, встречается только на одном ребре, выходящем из si (условие непротиворечивости или детерминированности).
87. Регулярные события. Алгебра регулярных событий. Регулярные выражения.
89. Автоматы и теория алгоритмов.
91. Автоматы и языки.
90. Проблемы, алгоритмически разрешимые для автоматов и неразрешимые для произвольных алгоритмов.
-
Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные высказывания, логические связки. Роль связок в естественном языке.
-
Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
-
Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость, опровержимость.
-
Основные схемы логически правильных рассуждений.
-
Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций (закон исключенного третьего, закон отрицания противоречия; закон двойного отрицания; закон тождества; закон контрапозиции; закон силлогизма (правило цепного заключения); закон противоположности; правило добавления антецедента («истина из чего угодно»); правило «из ложного что угодно»; правило «модус поненс» (modus ponens); правило «модус толленс» (modus tollens); правило перестановки посылок; правило объединения (и разъединения) посылок; правило разбора случаев; правило приведения к абсурду; свойства дизъюнкции и конъюнкции; свойства импликации и эквивалентности; выражение одних логических операций через другие).
-
Основные правила получения тавтологий.
-
Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.
-
Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.
-
Следование и равносильность формул.
-
Нахождение следствия для данных посылок.
-
Нахождение посылок для данного следствия.
-
Алгебра логики. Функции алгебры логики. k-значные логики.
-
Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.
-
Бинарные функции алгебры логики.
-
Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
-
Эквивалентные формулы. Способы установления эквивалентности формул.
-
Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.
-
Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
-
Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
-
ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ. Процедуры приведения к ДНФ и КНФ.
-
Двойственность.
-
Алгебра Вебба, алгебра Шеффера, импликативная алгебра, коимпликативная алгебра, алгебра Жегалкина.
-
Полиномы Жегалкина. Процедуры приведения к ПНФ.
-
Конечно-значные логики: алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера–Тьюкетта.
-
Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.
-
Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.
-
Понятие логического следования, принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.
-
Методы анализа выполнимости и общезначимости формул: семантическое дерево, тривиальный алгоритм, алгоритм Квайна, алгоритм редукции, алгебраический подход, метод Девиса-Патнема, метод резолюций, фразы Хорна.
-
Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.
-
Свойства формализованного счисления высказываний.
-
Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
-
Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
-
Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.
-
Численные кванторы. Ограниченные кванторы.
-
Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.
-
Семантика языка логики предикатов, интерпретация формул. Три ситуации при логической интерпретации формул логики предикатов. Проблемы получения истинных формул и проверки формулы на истинность. Эквивалентные соотношения логики предикатов.
-
Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.
-
Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.
-
Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.
-
Методы доказательства в логике предикатов.
-
Исчисление предикатов как формальная система. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
-
Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.
-
Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.
-
Метод резолюций в логике предикатов. Унификация. Условия унификации. Множество рассогласований. Алгоритм унификации для нахождения наиболее общего унификатора. Алгоритм метода резолюций применительно к логике предикатов.
-
Принцип логического программирования.
-
Применение логики предикатов в логико-математической практике.
-
Классификация высказываний по Аристотелю.
-
Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики
-
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
-
Метод (полной) математической индукции
-
Необходимые и достаточные условия
-
Понятия формальной системы и формального вывода. Аксиоматическая (формальная) теория и принципы ее построения.
-
Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
-
Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
-
Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
-
Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
-
Неклассические логики.
-
Интуиционистская логика.
-
Нечеткая логика.
-
Модальные логики. Типы модальностей.
-
Временные логики. Приложение временных логик к программированию.
-
Алгоритмические логики. Принципы построения алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
-
Многозначные логики. Трёхзначная логика Я. Лукасевича. m-значная логика Э. Поста.
-
Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.
-
Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
-
Вычисление предикатов на машине Тьюринга.
-
Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.
-
Тезис Тьюринга.
-
Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
-
Машина Поста.
-
Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
-
Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова.
-
Вычислимость и разрешимость. Нумерация алгоритмов. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема самоприменимости, проблема пустой ленты.
-
Требование результативности и теория алгоритмов.
-
Разрешимые и перечислимые множества. Связь между разрешимостью и перечислимостью множеств. Теорема Райса.
-
Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
-
Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
-
Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
-
Методики перехода к временным оценкам трудоёмкости алгоритмов. Пооперационный анализ. Метод Гиббсона. Метод прямого определения среднего времени.
-
Сложность и кодирование. Сложность и архитектура машины.
-
Полиномиальный алгоритм. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач P и NP.
-
Полиномиальная сводимость и NP-полнота. NP-полные задачи. Примеры NP-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых NP-полных задач.