27.Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.

Метод резолюций : Для порождения логических следствий используется очень простая схема рассуждений. Пусть А, В, X — формулы. Предположим, что две формулы (A Ú X) и (B Ú ØX) – истинны. Если X — истинна, то следовательно В истинна. Наоборот, если X ложна, то можно заключить, что А — истинна. В обоих случаях (A Ú В) истинна. Получается правило {AÚX, BØÚX} |— A Ú В, которое можно записать в виде {ØX Ú A, X Ú B} |— A Ú В. Это правило называется правилом резолюций. Правило резолюций. Для любых дизъюнктов С и С*, если существует литера L в С, контрарная литере L* в С*, то вычеркнув L и L* из С и С* соответственно, построим дизъюнкцию оставшихся членов. Построенный дизъюнкт называется резольвентой С и С*. Пусть S — множество дизъюнктов. Резолютивным выводом дизъюнкта С из S называется конечная последовательность С₁, С₂, … С_k дизъюнктов, в которой каждый С_i либо принадлежит S, либо является резольвентой дизъюнктов, предшествующих С_i, и С = С_k. Вывод пустого дизъюнкта 0 из S называется доказательством противоречивости S или опровержением S. Говорят, что дизъюнкт С может быть выведен или получен из S, если существует резолютивный вывод С из S. Пример Проверить противоречивость множества дизъюнктов S = {P, ØPÚQÚR, ØQÚC, ØRÚC, ØC}. Решение. P — дизъюнкт 1; ØPÚQÚR — дизъюнкт 2; ØQÚC — дизъюнкт 3; ØRÚC — дизъюнкт 4; ØC — дизъюнкт 5; QÚR — по ПР из 1 и 2; Ø R — по ПР из 4 и 5; ØQ — по ПР из 3 и 5; Q — по ПР из 6 и 7; 0 — по ПР из 8 и 9.

. Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.

Представим функцию импликации в виде минимальной ДНФ с помощью формулы;

A ® C º `A Ú C, (A1&A2& ¼&Am) ® B Ú C будет соответствовать формула (с учётом правила де Моргана) `A1 `ÚA2 Ú ¼`ÚAm Ú B Ú C. Перенесём положительные литеры вперед и получим B Ú C Ú A1 `ÚA2 Ú ¼`ÚAm. Такую формулу называют фразой Хорна, положительные литеры (B,C) называют альтернативными следствиями, негативные (`A1,`A2, ¼,`Am )– необходимыми посылками.

Хорновский дизъюнкт называется точным, если он содержит одну позитивную литеру. Если он не содержит позитивных литер, то называется негативным.

Точный дизъюнкт выражает некоторое правило: негативные литеры соответствуют гипотезам (которые представлены высказываниями), а позитивные — заключениям.

Унитарный позитивный хорновский дизъюнкт представляет собой некоторый факт, т.е. заключение, не зависящее от каких-либо гипотез.

Алгоритм: Пусть S – множество фраз Хорна. :

При условии Ложь Ï S,

выбираем p и с, такие что:

p – унитарный позитивный дизъюнкт из S

c – дизъюнкт из S, содержащий Øp

вычисляем резольвенту r;

заменяем множество S на (S/{c}È{r}).

Таким образом, на каждом этапе одна фраза Хорна заменяется другой, и некоторый атом удаляется из одного дизъюнкта. Отсюда следует, что выполнение алгоритма всегда завершается, какая бы стратегия ни была принята при выборе p и с. Если N – число атомов, первоначально присутствующих в S (c учётом повторений), то процедура вычисления резольвенты будет выполняться N раз.

Существует два случая завершения алгоритма: либо порождён пустой дизъюнкт, тогда множество будет не выполнимым, либо получено множество S, не содержащее дизъюнктов для вычисления очередной резольвенты, тогда множество S будет выполнимым.

28. Методы анализа выполнимости и общезначимости формул: семантическое дерево, тривиальный алгоритм, алгоритм Куайна, алгоритм редукции, алгебраический подход, метод Девиса-Патнема, метод резолюций, фразы Хорна.

Формула семантически выполнима, или просто выполнима, если её можно интерпретировать со значением истина. Например: (p & q)– выполнима.

Множество формул называют выполнимым (непротиворечивым), если найдется такая интерпретация, при которой все формулы истины. Если такой интерпретации не находится, то множество невыполнимо (противоречиво).

Существуют высказывания, которые истины в любой области. Примером может служить высказывание AØÚA. Такие высказывания называются общезначимыми, тождествено-истинными или тавтологиями. Отрицание общезначимой формулы является невыполнимая формула или противоречие.

Метода анализа:

• Тривиальный метод (найти значения при всех возможных интерпретациях)

• Семантическое дерево

• Алгебраический метод (применение законов булевой алгебры логики)

• Метод Куайна (обобщение тривиального алгоритма)

• Метод редукции (проверка формул путем сведения к абсурду)

• Метод Девиса-Патнема

• Метод резолюций

• Фразы Хорна

Пример метод Куайна

Доказать, что формула

P=(((p&q) ®r) &(p ® q)) ® (p ® r)

является теоремой ИВ

Решение

Выберем высказывание p. Возникает два случая

p = 1, тогда

P=(((1&q) ®r) &(1 ® q)) ® (1 ® r)=((q ® r ) & q) ® r =P*

Выберем q и рассмотрим два случая q = 0 и q = 1 (получим тавтологии)

p = 0, тогда

P =(((0&q) ®r) &(0 ® q)) ® (0 ® r)=((0 ® r ) & 1) ® 1=1 ® 1 = 1

Метод редукции: Пусть формула P имеет вид импликации, например P = Q ® R. Допустим, в некоторой интерпретации h формула P принимает значение 0. Тогда h(Q) = 1 и h(R) = 0. Т.о., проверка P сводится к проверке Q и R.

Пусть S — множество дизъюнктов.

Метод Девиса-Патнема:

Правило ДП1: Вычеркнуть все тавтологические дизъюнкты из S. Множество оставшихся дизъюнктов S* противоречиво тогда и только тогда, когда S противоречиво (Правило тавтологии)

Правило ДП2: Если существует единичный дизъюнкт L в S, то S* получим из S вычеркиванием дизъюнктов, включающих L. Если S* пусто, то S — истинно. Иначе, строим S** путем изъятия из S* всех вхождение ØL. S ** противоречиво тогда и только тогда, когда S противоречиво (Правило однолитерных дизъюнктов).

Правило ДП3: Литера L некоторого дизъюнкта называется чистой в S тогда и только тогда, когда литера ØL не появляется ни в каком дизъюнкте из S. Если L — чиста в S, то вычеркнем все дизъюнкты, включающие L. Оставшееся множество S* противоречиво тогда и только тогда, когда S противоречиво (Правило чистых литер)

Правило ДП4: Если множество S представимо в виде

(А1 Ú L) & …& (Am Ú L) & (B1 Ú ØL) & … &(Bn Ú ØL) &R, где Ai, Bi и R чисты от L и ØL, S1 = А1 & …& Am &R и S2= B1 & … &Bn &R, то S противоречиво тогда и только тогда, когда (S1 Ú S2) противоречиво, т.е. S1 и S2 противоречивы (Правило расщепления)

Метод резолюций:

Для порождения логических следствий используется очень простая схема рассуждений. Пусть А, В, X — формулы. Предположим, что две формулы (A Ú X) и (B Ú ØX) – истинны. Если X — истинна, то следовательно В истинна. Наоборот, если X ложна, то можно заключить, что А — истинна. В обоих случаях (A Ú В) истинна. Получается правило

{AÚX, BØÚX} |— A Ú В,

которое можно записать в виде

{ØX Ú A, X Ú B} |— A Ú В.

Фразы Хорна:

Представим функцию импликации в виде минимальной ДНФ с помощью формулы;

A ® C º `A Ú C

(A1&A2& ¼&Am) ® B Ú C будет соответствовать формула (с учётом правила де Моргана) `A1 `ÚA2 Ú ¼`ÚAm Ú B Ú C. Перенесём положительные литеры вперед и получим B Ú C Ú A1 `ÚA2 Ú ¼`ÚAm. Такую формулу называют фразой Хорна, положительные литеры (B,C) называют альтернативными следствиями, негативные (`A1,`A2, ¼,`Am )– необходимыми посылками.

Простейшей фразой Хорна может быть некоторый факт, состоящий из заключения, за которым не следует никаких условий,

Хорновский дизъюнкт называется точным, если он содержит одну позитивную литеру. Если он не содержит позитивных литер, то называется негативным.

Точный дизъюнкт выражает некоторое правило: негативные литеры соответствуют гипотезам (которые представлены высказываниями), а позитивные — заключениям.