- •1.Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные выск, лог связки. Роль связок в естественном языке.
- •2.Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •3.Свойства формул: общезначимость, выполнимость, противоречивость.
- •4.Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •14. Бинарные функции алгебры логики.
- •12.Алгебра логики. Функции алгебры логики. K-значные логики.
- •13.Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.
- •15.Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
- •19.Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •21Двойственность.
- •20. Днф, скнф, сднф, кнф. Приведение к кнф и днф.
- •25. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.
- •26.Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.
- •27.Понятие логического следования, проблема дедукции. Принцип дедукции. Правило резолюций, метод резолюций. Стратегии метода резолюций.
- •31. Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
- •32. Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
- •35. Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.
- •27. Префиксная нормальная форма. Процедура получения префиксной нормальной формы.
- •40. Методы доказательства в логике предикатов.
- •41. Исчисление предикатов. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.
- •42. Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.
- •43. Предваренная, сколемовская и клаузальная формы. Алгоритм получения клаузальной формы.
- •44. Метод резолюций в логике предикатов. Теорема Черча.
- •45. Принцип логического программирования.
- •46. Применение логики предикатов в логико-математической практике.
- •47. Классификация высказываний по Аристотелю
- •48. Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики
- •49. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
- •50 Метод (полной) математической индукции
- •51. Необходимые и достаточные условия
- •53. Вывод и выводимость в формальной теории. Разрешимые и неразрешимые формулы. Доказательство и доказуемость. Теорема формальной теории.
- •54. Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
- •55. Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
- •56. Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
- •57 Неклассические логики.
- •58. Интуиционистская логика.
- •59. Нечеткая логика.
- •61. Временные логики. Приложение временных логик к программированию.
- •63. Многозначные логики. Трёхзначная логика я. Лукасевича. M-значная логика э. Поста.
- •64. Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.
- •65.Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
- •66. Вычисление предикатов на машине Тьюринга.
- •67. Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.
- •68. Тезис Тьюринга
- •69.Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
- •70. Машина Поста.
- •71. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •73. Вычислимость и разрешимость. Нумерация алгоритмов. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые задачи. Проблема остановки, проблема самоприменимости, проблема пустой ленты.
- •74. Требование результативности и теория алгоритмов.
- •75. Разрешимые и перечислимые множества. Связь между разрешимостью и перечислимостью множеств. Теорема Райса.
- •63. Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •81.Полиномиальный алгоритм. Легко- и трудноразрешимые задачи, классы задач p и np.
- •70. Недетерминированная машина Тьюринга (нмт).
- •82 Полиномиальная сводимость и np-полнота. Np-полные задачи. Примеры np-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых np-полных задач.
- •72. Теория формальных грамматик. Формальные порождающие грамматики. Язык, порождаемый грамматикой.
- •73. Классификация грамматик и порождаемых ими языков.
- •74.Неукорачивающие грамматики и разрешимость языка.
- •75.Метаязык Бэкуса.
- •76. Контекстно-свободные грамматики. Приведение контекстно-свободных грамматик.
- •77.Алгоритмические проблемы для грамматик.
- •78.Алгоритмические проблемы для контекстно-свободных грамматик.
- •82. Частичные автоматы и их минимизация.
- •83.Интерпретация автоматов. Основные проблемы абстрактной теории автоматов.
- •84.Автоматы Мура. Событие. Представление событий в автоматах.
- •59. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
- •5Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.
- •62.Алгоритмические логики. Принципы построения алгоритмической логики. Алгоритмическая логика Хоара.
- •64.Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •78.Трудоемкость алгоритмов. Классификация алгоритмов по виду функции трудоёмкости
- •85. Автономные автоматы.
- •86. Класс множеств, представимых конечными автоматами.
- •Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.
- •6Основные правила получения тавтологий.
- •7Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.
- •8Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.
- •9Следование и равносильность формул.
- •17Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.
- •18Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
- •29Алгоритм построения резолюций для множества фраз Хорна.
- •33Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.
- •34Численные кванторы. Ограниченные кванторы.
- •37Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.
- •38Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.
- •39Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.
- •72Нормальные алгорифмы Маркова. Нормально вычислимые функции и принцип нормализации Маркова.
- •76Сложность алгоритмов. Меры сложности алгоритмов. Сложность задачи. Массовые и индивидуальные задачи.
- •77Асимптотическая сложность, порядок сложности. Сложность в среднем и в худшем случае.
- •79Методики перехода к временным оценкам трудоёмкости алгоритмов. Пооперационный анализ. Метод Гиббсона. Метод прямого определения среднего времени.
- •1) Пооперационный анализ
- •2) Метод Гиббсона
- •3) Метод прямого определения среднего времени
- •80Сложность и кодирование. Сложность и архитектура машины.
69.Проблема остановки как пример алгоритмически неразрешимых проблем.
Тезис Тьюринга: Всякий алгоритм может быть реализован машиной Тьюринга. Тезис Тьюринга позволяет, с одной стороны, заменить неточные утверждения о существовании эффективных процедур (алгоритмов) точными утверждениями о существовании машин Тьюринга, а с другой стороны, утверждения о несуществовании машин Тьюринга истолковывать как утверждения о несуществовании алгоритмов вообще.
Требование, чтобы по любому алгоритму А и данным a можно было определить, приведет ли работа А при исходных данных a к результату или нет. Иначе говоря, нужно построить алгоритм В, такой, что В (А, a)=И, если А(a) дает результат, и В (А, a) =Л, если А(a) не дает результата. В силу тезиса Тьюринга эту задачу можно сформулировать как задачу о построении машины Тьюринга: построить машину T0 такую, что для любой машины Тьюринга Т и любых исходных данных a для машины Т T0(ST, a) =И, если машина Т(a) останавливается, и T0(ST, a) = Л, если машина Т(a) не останавливается. В силу тезиса Тьюринга невозможность построения машины Тьюринга означает отсутствие алгоритма решения данной проблемы. Поэтому полученная теорема дает первый пример алгоритмически неразрешимой проблемы, а именно,алгоритмически неразрешимой оказывается проблема остановки для машин Тьюринга, т. е. проблема определения результативности алгоритмов.
70. Машина Поста.
Информационная лента для записи входной, выходной и промежуточной информации, бесконечная и разделенная на одинаковые ячейки
Считывающая и записывающая головка
В каждой ячейке записан один символ из фиксированного алфавита (для машин Поста входная и выходная информация задаются в алфавите X={0, 1}). Клетки, в которых записаны единицы, называют отмеченными, а те, в которых записаны нули — неотмеченными. В любой момент времени машина обрабатывает ровно одну ячейку, называемую активной.
Машина Поста работает под управлением программы. Программа состоит из правил (команд), которые называются приказами. Команды машины Поста состоят из трех полей:
1. Номер команды
2. Операция
3. Отсылка (номер следующей команды)
Команды нумеруются с 1. Первой выполняется команда 1.
Операции:
1. ® — движение на одну клетку вправо (R)
2. ¬ — движение на одну клетку влево (L)
3. запись метки (1) в обозреваемую ячейку,
4. стирание метки (запись 0) в обозреваемую ячейку,
5. команда передачи управления (ветвление) — если ячейка неотмеченная — отсылка на команду M1, если отмеченная — на M2.
6. Стоп: HLT (END)
71. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
Всякий алгоритм однозначно ставит в соответствие исходным данным результат. Поэтому с каждым алгоритмом однозначно связана функция, которую он вычисляет.
Верно ли обратное: для всякой ли функции существует вычисляющий ее алгоритм?
Вопрос: для каких функций алгоритмы существуют? Как описать такие алгоритмические, эффективно вычислимые функции?
Примитивно-рекурсивные функции
Очевидно, константы — вычислимые функции
Достаточно одной константы 0 и функции следования f(x) = x + 1 (х¢)
Кроме того, в базис включим семейство функций тождества (или введения фиктивных переменных):
Средства получения новых функций из уже имеющихся
Оператором суперпозиции называется подстановка в функцию от m переменных m функций от n одних и тех же переменных. Она дает новую функцию от n переменных. Например, для функций h(x1, ..., xm), gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn)
(h, gl, …, gm) = h(gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn)) = f(x1, ..., xn)
Функция называется примитивно-рекурсивной, если она может быть получена из константы 0, функции х¢ и функций Inm с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.
1. Функции 0, х¢ и Inm для всех натуральных n, m, где m £ n, являются примитивно-рекурсивными.
2. Если gl(x1, ..., xn), …, gm(x1, ..., xn), h(x1, ..., xm) — примитивно-рекурсивные функции, то (h, gl, …, gm) примитивно-рекурсивные функции для любых натуральных n, m.
3. Если g(x1, ..., xn) и h(x1, ..., xт, у, z) —примитивно-рекурсивные функции, то Rn(g, h) — примитивно-рекурсивная функция.
4. Других примитивно-рекурсивных функций нет.
Примеры: Умножение, Возведение в степень ,Арифметическое или урезанное вычитание, Cигнум (sg(x)=0, если x=0 и sg(x)=1, если x ¹ 0),модуль разности, минимум двух чисел, максимум двух чисел, деление (остаток и целая часть), «арифметизированные» логических функций
Оператор называется примитивно-рекурсивным, если он сохраняет примитивную рекурсивность функций, т. е. если результат его применения к примитивно-рекурсивным функциям дает снова примитивно-рекурсивную функцию.
Оператор условного перехода примитивно-рекурсивен, как и его обобщение