31. Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
Предикатом (от позднелат. рraedicatum — сказанное) P(x1, …,xn) называется функция P: Mn ® B, где M — произвольное множество, а B — двоичное множество. Иначе говоря, n–местный предикат, определенный на M, — это двузначная функция от n аргументов, принимающих значения в произвольном множестве M.
M — предметная область предиката,
x1, …,xn — предметные переменные. Пример предикатов. Возьмём высказывания: ``Сократ - человек'', ``Платон - человек''. Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком''. Таким образом, мы можем рассматривать предикат ``быть человеком'' и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона
Предикаты и отношения: а) каждому n–местному отношению R соответствует предикат P такой, что P(a1, …,an) = 1, если и только если (a1, …,an) Î R;
б) всякий предикат P(x1, …,xn) определяет отношение R такое, что (a1, …,an) Î R, если и только если P(a1, …,an) = 1.
При этом R задает область истинности предиката P.
Предикаты и функции: Всякой функции f(x1, …,xn), f: Mn ® M соответствует предикат P(x1, …,xn,xn+1), P: Mn+1 ® B, такой, что P(a1, …,an, an+1) = 1, если и только если f(a1, …,an) = an+1.
Понятие предиката шире понятия функции, поэтому обратное соответствие (от (n + 1)-местного предиката к n-местной функции) возможно не всегда, а только для таких предикатов P¢ для которых выполняется условие: если P¢(a1, …,an, an+1) = 1, то для любого a¢n+1 ¹ an+1 P¢(a1, …,an, a¢n+1) = 0.
Предикаты и высказывания: Под 0-местным предикатом понимается произвольное высказывание.
Выражения P(a1, …,an), где a1, …,an ÎM, будем понимать как высказывание «P(a1, …,an) = 1» или как «P(a1, …,an) истинно», а выражение P(x1, …,xn), где x1, …,xn — переменные, как переменное высказывание
!!! P(x1, …,xn) — это логическая переменная, а x1, …,xn — нелогические переменные.
Поскольку предикаты принимают два значения и интерпретируются как высказывания, из них можно образовывать выражения логики высказываний, т.е. формулы вида
32. Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
Предикатная сигнатура – это множество символов двух типов – объектные константы и предикатные константы – с неотрицательным целым числом, называемым арностью, назначенным каждой предикатной константе. Предикатную константу мы будем называть пропозициональной, если её арность равна 0. Пропозициональные константы являются аналогом атомов в логике высказываний. Предикатная константа унарна, если её арность равна 1, и бинарна, если её арность равна 2.
Алфавит логики предикатов состоит из элементов из s и четырёх групп дополнительных символов, указанных выше. Строка – это конечная последовательность символов из этого алфавита.
Терм – это объектная константа или объектная переменная. Строка называется атомарной формулой, если она является пропозициональной константой или имеет вид R(t1, ..., tn), где R – предикатная константа арности n (n > 0) и t1, ... , tn – термы. Например, если мы рассматриваем сигнатуру (4), то P(a) и Q(a, x) – атомарные формулы.Множество X строк замкнуто относительно правил построения (для логики предикатов), если 1)каждая атомарная формула принадлежит X, для любой строки F если F принадлежит X, то ¬F тоже принадлежит, 2) для любых строк F, G и любой бинарной связки Д, если F и G принадлежат X, то также принадлежит (F Д G), 3)для любого квантора K, любой переменной v и любой строки F если F принадлежит X, то также принадлежит Kv F. 4)Строка F является (предикатной) формулой, если F принадлежит всем множествам, которые замкнуты относительно правил построения.
Пусть P(x) — предикат, определенный на M
«для всех x из M P(x) истинно» обозначается " x P(x) Знак " x называется квантором общности; другое его обозначение (x).
Высказывание «существует такой x из M, что P(x) истинно» обозначается $ x P(x). Знак $ x называется квантором существования; другое его обозначение (Ex).
. Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных
Пусть P(x) — предикат, определенный на M
«для всех x из M P(x) истинно» обозначается " x P(x) Знак " x называется квантором общности; другое его обозначение (x).
Высказывание «существует такой x из M, что P(x) истинно» обозначается $ x P(x). Знак $ x называется квантором существования; другое его обозначение (Ex).
Переход от P(x) к " x P(x) или $ x P(x) называется связыванием переменной x, а также навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P), иногда — квантификацией переменной x.
Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной; несвязанная переменная называется свободной.
Выражение, на которое навешивается квантор "x или $x называется областью действия квантора; все вхождения переменной x в это выражение являются связанными. Навешивание предиката на многоместный предикат уменьшает в нем число свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.
Пусть A(x, y) – некоторый двухместный предикат, определённый на множестве из пяти элементов: M = {a1, a2, a3, a4, a5}, Предикатная функция задана матрицей:
Результаты применения квантификации:
