33Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.

• Пусть P(x) — предикат, определенный на M

• «для всех x из M P(x) истинно» обозначается "x P(x) Знак "x называется квантором общности; другое его обозначение (x).

• Высказывание «существует такой x из M, что P(x) истинно» обозначается $x P(x). Знак $ x называется квантором существования.

• Переход от P(x) к "x P(x) или $x P(x) называется связыванием переменной x, а также навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P), иногда — квантификацией переменной x.

• Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной; несвязанная переменная называется свободной.

34Численные кванторы. Ограниченные кванторы.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Предика́т (n-местный, или n-арный) — это функция с областью значений {0,1} (или «Истина» и «Ложь»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждую n-ку элементов M он характеризует либо как «истинную», либо как «ложную».

В математике часто встречаются выражения вида «по меньшей мере n» («хотя бы n»), «не более чем n», «n и только n», где n– натуральное число. Эти выражения, называемые численными кванторами. Огрниченный квантор- квантор, используемый для характеризации предикатов не на всей области изменения данной предметной переменной, а на ее части, выделяемой нек-рым предикатом R(х). При использовании в качестве О. к. всеобщности квантор и существования.

37Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.

Приведенной формой для формулы логики предикатов называется такая равносильная ей формула, в которой из операций алгебры высказываний имеются только операции Ø, Ù, Ú, причем знаки отрицания относятся лишь к предикатным переменным и к высказываниям.

Теорема 1. Для всякого предиката существует равносильная ему приведенная нормальная форма.

Доказательство. Действительно, все операции в данной предикатной формуле можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (например, в виде ДНФ). Если после этого некоторые отрицания будут относиться к частям формулы, содержащим кванторы, то отрицания можно “снять” с кванторов согласно равносильностям, а “снять” отрицания с конъюнкций и дизъюнкций можно, следуя законам де Моргана. После всех описанных преобразований предикат, очевидно, будет представлен в приведенной форме.

38Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.

Предваренной нормальной формой (ПНФ) для формулы логики предикатов называется такая ее приведенная форма, в которой все кванторы стоят в ее начале, а область действия каждого из них распространяется до конца формулы, т.е. это формула вида (Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Q_mx_m)(F(x₁, …, x_n)), где Q_i есть один из кванторов " или $ (i = 1,…,m), m £ n, причем (F(x₁, …, x_n) не содержит кванторов и является приведенной формулой.

• 1) Используя формулы P₁ ~ P₂ = (P₁ ® P₂) & (P₂ ® P₁), P₁ ® P2 = Ø P₁ Ú P₂

заменить ®, « на &, Ú, Ø.

• 2) Спустить символы отрицания непосредственно на символы предикатов

• 3) Для формул, содержащих подформулы вида "xP₁(x) Ú "xP₂(x), $xP₁(x) Ú $xP₂(x),

ввести новые переменные, позволяющие использовать эквивалентные соотношения

• 4) С помощью эквивалентных соотношений получить формулы в виде ПНФ