Общее решение однородного уравнения известно: см. (2.36).

Находим частное решение неоднородного уравнения, сравнивая правую часть f (x) = 3sin2x c выражением 2 из таблицы 2:

f (x) = M cos β x + N sinβ x.

Получаем β = 2, M = 0 , N =3.

Сравниваем мнимое число β i = 2i с корнями характеристического уравне-

коэффициенты. Процедура их определения имеет вид:

0y = Acos 2x + Bsin2x,

−2 y′ = −2Asin2x + 2B cos 2x, 1 y′′ = −4Acos 2x −4Bsin2x.

y′′− 2 y′ = −4Acos 2x − 4B sin2x + 4Asin2x − 4B cos 2x = 3sin2x ,

(−4A −4B)cos 2x + (4A −4B)sin2x = 3sin2x.

Приравнивая коэффициенты в обеих частях получившегося тригоно-

откуда следует A = 3/8, B = −3/ 8.

Поэтому частное решение исходного уравнения будет

48

1). Находим общее решение однородного уравнения

а общее решение однородного уравнения запишется в виде

y0 = ex (C1 cos 3x +C2 sin3x).

2). Находим частное решение неоднородного уравнения методом подбора. Сравниваем правую часть f (x) = (x + 2)e3 x c общим выражением (1) из таблицы 2:

f (x) = Pn (x)eα x .

Очевидно, что в данном случае n=1, α = 3 .

Так как α ≠ k j (j=1,2), то m=0. Поэтому принимаем (см. таблицу 2, случай

1А):

y =Q1(x)e3x = (Ax + B)e3x ,

где A и B - неопределенные коэффициенты. Находим их, используя ста н- дартную процедуру:

4y = (A x + B) e3 x ,

−2 y′ = (3A x + A +3B )e3 x , 1 y′′ = (9A x + 6A +9B)e3 x .

y′′−2y′ + 4y = (7A x + 4A + 7B)e3 x = (x + 2)e3 x .

Сокращая на e3 x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем:

Следовательно,

4y1 = x(Acos 2 x + B sin 2 x),

0y1′ = Acos 2 x + B sin2 x + x(−2Asin2 x + 2B cos 2x), 1 y1′′ = 4(−Asin2x + B cos 2x)− 4x(Acos 2x + B sin2x).

y1′′ + 4y1 = −4Asin2x + 4B cos 2x = 5sin2x.

3). Далее находим частное решение уравнения y′′+ 4y = −cos x.

50

При этом f2 (x) = −cos x. Так как β i = i ≠ k1,2 , то принимаем (см. таблицу 2, случай 2а)

y2 = −13 cos x.

Суммируя найденные частные решения с общим решением однородного уравнения, окончательно получим

Сначала находим общее решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

Однородному дифференциальному уравнению y′′ − 6 y′ + 9y = 0 соответствует характеристическое уравнение: k 2 − 6k + 9 = 0, которое имеет два одинаковых действительных корня: k1 = k2 =3. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения запишется в виде

y0 =C1e3x + C2 xe3x .

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения находим методом побора, принимая (см таблицу 2, случай 3А):

9y* = Ae2x cos x + Be2x sinx.

51

y*′′ − 6 y*′ + 9y* = (3A + 4B)e2x cos x − (4A −3B)e2x sinx − 6(2A + B)e2x cos x + + 6(A − 2B)e2x sinx + 9Ae2x cos x + 9Be2x sinx =

= e2x (cosx −sinx),

откуда находим A = B = −1/ 2 и, следовательно,

y* = −12 e2x (cosx + sinx).

Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения примет вид:

y = e3x (C1 + C2 x) − 12 e2x (cosx + sinx).

Далее находим произвольные постоянные из граничных условий.

В результате решение краевой задачи запишется в виде:

В качестве практического примера применения изложенной теории рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях линейной системы с одной степенью свободы (массы на пружине) без учета сил сопротивления. Такие колебания описываются линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка:

y′′ + n2 y = P(t),

где P(t) = H sin pt - внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания одномассовой системы ( H – амплитуда, p – частота вынужденных колебаний),

52

n2 = mk - частота собственных колебаний системы ( k – коэффициент жестко-

сти пружины массой m).

Решаем сначала однородное уравнение y′′ + n2 y = 0. Характеристиче-

ское уравнение, ему соответствующее: k 2 + n2 = 0, имеет мнимые корни k1,2 = ±ni . Поэтому общее решение однородного уравнения запишется в виде

y0 =C1 cos nt + C2 sinnt.

Это решение описывает собственные колебания массы m относительно положения статического равновесия (колебания при отсутствии внешних сил). Частное решение ищем методом подбора в виде

y = Acos pt + Bsin pt.

Находя неопределенные коэффициенты A и B, получим

и окончательно, общее решение уравнения колебаний запишется в виде

Последнее слагаемое описывает вынужденные колебания системы, происходящие с частотой возмущающей силы p. Множитель H /(mn2 ) характеризует перемещение, которое вызывает максимальная возмущающая сила,

намичность действия этой силы. Абсолютная величина этого множителя называется коэффициентом динамичности.

Как видно из полученного решения, когда отношение p / n →1, коэффициент динамичности и амплитуда колебаний неограниченно возрастают.