0 ≤ x ≤ L граничные условия могут иметь вид: y(0) = y(L) = 0 или y(0) = 0, y′(L) = 0.

В отличие от задачи Коши, решение которой существует и единс т- венно (при некоторых весьма общих условиях, налагаемых на правую часть уравнения (2.1)), краевая задача может не иметь решения или решение может быть не единственным.

2.1.Интегрирование дифференциальных уравнений n – го порядка методом понижения порядка

Если правая часть уравнения (2.1) является известной непрерывной

Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение уравнения будет иметь вид

y = ∫∫ ∫ f (x)dx +C1xn−1 +C2 xn−2 + +Cn−1x +Cn , (2.3)

где в правой части - n-кратный интеграл от функции f(x) и многочлен (n-1)-ой степени от x, коэффициентами которого являются n произвольных постоянных.

Уравнение (2.4) не содержит искомой функции y(x). Рассмотрим процедуру интегрирования уравнения данного типа на примере уравнения второго порядка

Понижение порядка достигается подстановкой

и уравнение (2.5) приводится к уравнению первого порядка относительно функции z(x):

Интегрируя уравнение (2.8), находим его общий интеграл в виде

где С1 - произвольная постоянная. Далее в (2.9) заменяем левую часть согласно (2.6) и вновь получаем уравнение первого порядка относительно искомой функции y:

Интегрируя уравнение (2.10), находим общее решение исходного уравнения (2.4) в виде

Замечание. Если уравнение (2.4) не содержит ни искомой функции y, ни её производных до ( k-1) - го порядка включительно, то есть имеет вид

y(n) = f (x, y(k ), y(k +1), , y(n−1) ),

то его порядок может быть понижен сразу на k единиц подстановкой y(k ) = z(x).

Это уравнение не содержит явно независимой переменной x. В частном случае уравнение второго порядка данного типа будет

Понижение порядка достигается подстановкой

Тогда по правилу вычисления производной от сложной функции

Поэтому уравнение (2.13) при водится к уравнению первого порядка относительно функции z(y):

где C1 - произвольная постоянная. Далее в (2.17) заменяем левую часть согласно (2.14) и вновь приходим к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно искомой функции y : y′(x) =ϕ (y,C1), следовательно,

Интегрируя уравнение (2.18), окончательно получим общий интеграл исходного уравнения (2.13) в виде

Интегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

Разделяем в нем переменные:

dzz = − dxx .

После интегрирования получим

lnz = −lnx + lnC1 = lnCx1 .

Следовательно, общее решение уравнения (2.22) будет

Далее ищем решение уравнения (2.21) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.23), но произвольную постоянную в (2.23) заменяем неизвестной функцией v(x):

Заменяя в выражении (2.25) z по формуле (2.20), приходим к уравнению третьего порядка относительно искомой функции y(x):