37

Уравнение (2.26) содержит в правой части известную функцию от x и относится к первому из рассмотренных нами типов (см. (2.2)). Интегрируя его последовательно три раза, окончательно получим общее решение исходного уравнения, содержащее 4 произвольных постоянных :

Уравнение не содержит явно независимой переменной x и потому от-

Отсюда следует

z = C1y .

и с учетом (2.14)

Определим сразу произвольную постоянную C1. Подставляя (2.27) во второе начальное условие, получим С1 =1. Тогда

dydx = 1y .

Разделяя переменные, имеем y dy = dx, следовательно, после интегрирования получим

C2 = −1/ 3. Поэтому

23 y3/ 2 = x − 13.

Окончательное решение задачи Коши запишется в виде

содержащее неизвестную функцию и все её производные до n-го порядка включительно в первой степени. В (2.28) коэффициенты

(i =1,2,...,n). В общем случае, если хотя бы один из коэффициентов ai является функцией от x, то уравнение (2.28) будет уравнением с переменными коэффициентами.

39

Левая часть уравнения (2.28) называется линейным дифференциальным оператором и обозначается через

L(y) = y(n) + a1y(n−1) + a2 y(n−2) + + an−1y′+ an y.

Поэтому в компактной форме уравнение (2.28) запишется так:

L(y) = f (x).

Если правая часть уравнения f (x) = 0 , то уравнение (2.28) принимает вид

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением, в противном случае – неоднородным.

Справедлива теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка): общее реше-

ние линейного неоднородного дифференциального уравнения n – го порядка представляется в виде суммы

где y0 - общее решение соответствующего линейного однородного уравненияL(y) = 0, y -частное решение неоднородного уравнения L(y) = f (x).

Полезна также следующая теорема, называемая принципом суперпо-

зиции:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

m

L(y) = ∑αk fk (x)

k =1

может быть представлено в виде

m

y = y0 + ∑αk yk ,

k =1

где y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y) = 0, αk = const, a yk - частные решения неоднородных уравнений вида

L(y) = fk (x), (k =1, 2, , m).

40

Из принципа суперпозиции следует, что решение исходного уравнения можно свести к решению нескольких более простых уравнений L(y) = fk (x). С физической точки зрения это означает, что результат сложного внешнего воздействия на некоторую систему (объект), характеризуемого

татов отдельных элементарных воздействий.

2.2.1. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка): Общее решение линейного

нейной комбинацией функций называется сумма произведений функций на различные постоянные числа, то есть выражение вида

С1y1 +C2 y2 + +Cn yn ); y1, y2 , , yn - частные линейно независимые ре-

шения однородного уравнения L(y) = 0 - такие решения, для которых, составленный из них определитель не равен нулю:

Определитель W называется определителем Вронского или врон-

скианом.