Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf

Скачиваний:

158

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При этом значении силы Pкр первоначальная прямолинейная форма равно-

весия сжатого стержня становится неустойчивой.

Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи:

	y′′ = λy,	y(0) = y(l) = 0,		l > 0.
Если λ = 0,	то y =C1x + C2 ,		и граничным условиям удовлетворяет
только тривиальное решение		y ≡ 0.	Следовательно,	λ = 0 не является соб-
ственным значением.
При λ > 0	общее решение уравнения y′′ = λy			будет:

y =C1eλx + C2e−λx .

Подставляя это решение в граничные условия, убеждаемся в том, что они удовлетворяются только при y ≡ 0.

Если же λ < 0, то общее решение уравнения имеет вид

y =C1 sin− λx + C2 cos − λx.

Подставляя это выражение в граничные условия, получим

C2 = 0,

C1 sin− λl = 0.

Чтобы краевая задача имела ненулевые решения, необходимо принять

			nπ		2
sin − λl = 0. Тогда	− λl = nπ	и	nπ		,	n =1,2,...
sin − λl = 0. Тогда	− λl = nπ	и	λ = −	l	,	n =1,2,...
				l

Эти значения λ и являются собственными. Соответствующие им собственные функции с точностью до множителя равны

y =sin	nπx	,	n =1,2,...
	l

Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.51) при граничных условиях

y(0) − y(1) = 0, y′(1) = 0.

Общее решение уравнения согласно (2.55) имеет вид

Вычисляем	y = C1 cos λx +C2 sinλx.
Вычисляем	y (x) = −C1λsinλx +C2λcos λx,
	′
	y(0) = C1,	y(1) = C1 cos λ +C2 sinλ,
	′
	y (1) = −C1λsinλ +C2λcos λ.

Подставляя эти величины в граничные условия, после элементарных преобразований получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно C1 и C2 :

(1− cosλ) C1 −sinλ C2 = 0,

− λsinλ C1 + λcosλ C2 = 0.

Ненулевое решение ее существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:

1− cosλ	−sinλ
1− cosλ	−sinλ	= 0.
− λsinλ	λcosλ

Раскрывая этот определитель, получим уравнение относительно параметра

λ :

λ(cosλ −1) = 0,

корни которого являются собственными значениями задачи:

λ = 0,
λ = 2πn,	n =1,2,...
Легко убедиться, что при λ = 0 y = const. Подставляя λ = 2πn,		n =1,2,...

в систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно C1 и C2 , находим C2 = 0. Соответствующие собственные функции с точностью до множителя будут y = cos 2πnx.

2.4. Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами

Если коэффициенты ai (x), (i =1,2,...,n) линейного неоднородного уравнения

60
y(n) + a1(x) y(n−1) + a2 (x) y(n−2) + an−1(x) y′+ an (x) y = f (x)	(2.61)

и его правая часть f(x) представляют собой функции, которые определены и непрерывны на заданном интервале, то рассмотренные выше теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения и соответствующего ему однородного уравнения остаются справедливыми. Остаются в силе также принцип суперпозиции решений для неоднородного уравнения и метод вариации произвольных постоянных. Но при этом нельзя искать фундаментальную систему решений однородного уравнения рассмотренным выше методом.

Одним из простейших линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является уравнение Эйлера.

2.4.1. Уравнение Эйлера

Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида

(ax +b)n y(n) + a (ax	+b)n−1 y(n−1) + a	2	(ax +b)n−2	y(n−2) + +
1		2			(2.62)
+ an−1(ax +b)y′+ an y		= f (x),			(2.62)
+ an−1(ax +b)y′+ an y		= f (x),

где a, b, a1, a2 , , an−1, an - константы. В наиболее распространенном

случае, при a =1, b = 0	уравнение Эйлера имеет вид
xn y(n) + a1xn−1y(n−1)	+ a2 xn−2 y(n−2) + + an−1xy′+ an y = f (x). (2.63)

Как видно, уравнение Эйлера является уравнением с переменными коэффициентами специального вида, но оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной x.

Для уравнения (2.63), полагая

x = et , (x > 0) → t = ln x,

(2.64)

находим производные разного порядка от функции y по новой переменной t:

′

dy dt

−t

−2t d 2 y

= e

′′

= e

2 −

dt dx

′′′

= e

−3t

−3

+ 2

(2.65)

…………………………………

и подставляя (2.65) в (2.63), получим уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции y(t).

В общем случае, для уравнения(2.62) формулы перехода (2.65) примут

вид:

′

−t dy

′′

−2t d 2 y

== ae

= a e

2 −

′′′

= a

−3t

−3

+ 2

…………………………………..

Пример. Решить уравнение

x2 y′′+3xy′+ y = 2 + x.

(2.66)

Уравнение (2.66) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.64), (2.65). Тогда уравнение примет вид

	2t		−2t d 2 y			dy	t −t dy			t
e		e					+3e e		+ y = 2 + e
					2 −
				dt	2 −			dt
				dt		dt		dt

и после упрощений получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

d 2 y	+ 2 dy	+ y = 2 +et .	(2.67)
dt 2
	dt

Его общее решение

y = y0 + y1 + y2 ,

где y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения: y0 = C1e−t +C2 t e−t ,

y1 - частное решение неоднородного уравнения

y2 - частное решение неоднородного уравнения

d 22y + 2 dy + y = 2 , dt dt

d 22y + 2 dy + y = et . dt dt

Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид