Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 304 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

u = a1x + b1y.

Пример. Решить уравнение y

′

x + y +

x +1

В этом уравнении a1 = b1 =1,

c1 = 2,

=1, b2

= 0,

=1. Поэтому

δ =

≠ 0 . Полагая

x = u +α,

y = v + β,

находим α

β из системы

системы уравнений:

+ β + 2 = 0,

α +1= 0.

Следовательно, α = −1,

β = −1,

и формулы перехода от старых перемен-

ных к новым и обратно примут вид:

x = u −1,

y = v −1,

u = x +1,

v = y +1.

В результате уравнение приводится к однородному

= u −1+ v −1+ 2

= u + v =1+

u −1+1

Полагая далее t = v / u, →

v = tu,

′

=t u + t,

приходим к уравнению

′

с разделяющимися переменными относительно функции t:

′

t = lnu + lnC = lnCu.

t u +t =1+t, d t =

Возвращаясь к старой переменной, получим

= lnCu,

y +1

= lnC(x +1),

x +1

y = (x +1) lnC(x +1) −1.

1.6. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y′+ P(x) y = Q(x),

(1.12)

содержащее искомую функцию и ее производную в первой степени. Функции P(x) и Q(x) предполагаются непрерывными.

Если правая часть уравнения Q(x) = 0, то уравнение (1.12) называется линейным однородным уравнением, в противном случае - линейным неоднородным.

Рассмотрим интегрирование этого уравнения методом вариации про-

извольной постоянной (методом Лагранжа). В соответствии с этим мет о-

дом сначала ищется решение соответствующего линейного однородного

уравнения: y′+ P(x) y = 0 .		Разделяя в нем переменные, получим его общее
решение в виде
dy	= −P(x) y,	dy	= −P(x)dx, ln y = −∫P(x)dx +lnC,
dx		y
			y =C e−∫P(x)dx .	(1.13)

Далее ищется общее решение исходного уравнения с ненулевой правой частью в виде (1.13), но произвольная постоянная в (1.13) заменяется неизвестной функцией:

y = v(x) e−∫P(x)dx .

(1.14)

Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(x), интегрируя которое, находим эту функцию.

В результате, общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде

y = e−∫P(x)dx [ Q(x)e∫P(x)dx dx + C].	(1.15)
∫
Формула (1.15) дает общее решение линейного дифференциального
уравнения первого порядка в форме Коши.
Пример. Решить задачу Коши для уравнения y′− 4y = x	при началь-
ном условии y(0)=1.

Находим сначала общее решение линейного однородного уравнения y′− 4y = 0 .

Оно имеет вид

y = C e−∫P(x)dx = C e−∫−4dx = C e4x .

Заменяем произвольную постоянную C в этом решении неизвестной функцией v(x):

y = v(x)e4x .

Вычисляем производную y′

′

+ 4v(x)e

= v (x)e

и подставляя

y и

y′

в исходное уравнение, получим

′

4v(x)e

− 4v(x)e

′

= x,

v (x)e

= x, → v (x)e

′

−4x

, v(x)

= ∫xe

−4x

dx + C

= −

−4x

+ C.

(x) = xe

Общее решение уравнения примет вид

−4x

x +1/ 4

y =ν(x)e

−

+ C e

=Ce

−

Находим произвольную постоянную C из начального условия:

при x = 0

C −

=1,

→

C =

17.

Следовательно, решение задачи Коши будет

y =161 [17e4x − (4x +1)].

Решение линейного дифференциального уравнения (1.12) может быть также получено, если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций (метод Бернулли [4]):

		y =u (x) v(x).				(1.16)
Тогда		y	′	=u v + v u.		(1.17)
			′	′	′
Подставляя (1.16) и (1.17) в (1.12), получим						(1.18)
[u	′	+ P(x)u]v + v u = Q(x).				(1.18)
	′				′

Функцию u(x) подбираем так, чтобы она была одним из решений урав-

нения

u′+ P(x)u = 0 .
После разделения переменных получим
u = e−∫ P(x)dx .	(1.19)

Тогда уравнение (1.18) примет вид

v′e−∫P(x)dx = Q(x).

Следовательно,

dv =Q(x)e∫P(x)dx dx.

Интегрируя это уравнение с разделенными переменными, находим функцию v:

v = ∫Q(x)e∫P(x)dx dx + C .

(1.20)

Подставляя (1.19) и (1.20) в (1.16), получим общее решение уравнения

(1.12) в виде (1.15).

1.7. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y′+ P(x) y = Q(x) yn ,

(1.21)

где n ≠ 0;1.

Уравнение Бернулли является нелинейным, но оно приводится к линейному следующим преобразованием:

1) Обе части уравнения умножаются на y−n , тогда

y−n y′+ P(x) y1−n = Q(x).

2) Далее применяется подстановка

z = y1−n .

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

dz	= (1−n) y	−n	y′, следовательно,	y	−n	y′ =	1 dz
dx								dx .
							1− n

В результате уравнение становится линейным относительно функции z:

18
1
1− n z′ + P(x)z =Q(x).	(1.22)

Уравнение (1.22) может быть решено методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

Пример. Решить уравнение

y′+

lnx

Умножим обе части уравнения на

y−2 :

y−2 y′+

y−1

lnx

Положим

z = y

−1

→

′

= −y

−2

′

уравнение преобразуется в линей-

y ,

ное:

z′−

lnx

(1.23)

= − x

Находим сначала решение соответствующего линейного однородного

уравнения

z′

−

= 0.

= ln

+ ln C,

z = Cx.

Решение неоднородного уравнения (1.23) отыскиваем в виде

z = v(x) x,

тогда

′

= v (x) x + v(x).

′

dv(x) x + v(x) − v(x) x = −lnx ,

dv(x) x = −lnx

∫dv(x) = −∫

lnx

dx +C.

После интегрирования получим

v(x) =

lnx

+ C,

z = v(x) x

lnx

+ C x,

поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид