- •ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Е.А.КОГАН
- •Москва 2007
- •Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"
- •Е.А. Коган
- •Москва 2007
- •1.1. Основные понятия
- •Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:
- •Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.
- •Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.
- •Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.
- •Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида
- •Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.
- •Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения
- •Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
- •Следовательно, общий интеграл уравнения будет
- •Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными
- •Тогда
- •Полагаем
- •Тогда уравнение примет вид
- •Дифференциальное уравнение вида
- •В результате уравнение приводится к однородному
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(x), интегрируя которое, находим эту функцию.
- •В результате, общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде
- •Общее решение уравнения примет вид
- •Находим произвольную постоянную C из начального условия:
- •После разделения переменных получим
- •Тогда уравнение (1.18) примет вид
- •Следовательно,
- •Уравнением Бернулли называется уравнение вида
- •Уравнение вида
- •Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
- •Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение уравнения будет иметь вид
- •После интегрирования получим
- •Следовательно, общее решение уравнения (2.22) будет
- •Далее ищем решение уравнения (2.21) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.23), но произвольную постоянную в (2.23) заменяем неизвестной функцией
- •Подставляя (2.24) в (2.21), получим
- •Отсюда следует
- •и с учетом (2.14)
- •N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
- •а общее решение запишется в виде
- •Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
- •Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
- •Пример. Решить уравнение
- •Определитель этой системы
- •Поэтому для определения варьируемых функций согласно (2.44) получаем дифференциальные уравнения вида
- •Интегрируя уравнения (2.49), находим
- •Подставляя (2.50) в (2.48), получим общее решение уравнения в виде
- •Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи:
- •Подставляя это решение в граничные условия, убеждаемся в том, что они удовлетворяются только при
- •Подставляя это выражение в граничные условия, получим
- •Чтобы краевая задача имела ненулевые решения, необходимо принять
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.51) при граничных условиях
- •Общее решение уравнения согласно (2.55) имеет вид
- •Вычисляем
- •Ненулевое решение ее существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
- •Раскрывая этот определитель, получим уравнение относительно параметра
- •корни которого являются собственными значениями задачи:
- •Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
- •Пример. Решить уравнение
- •Уравнение (2.66) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.64), (2.65). Тогда уравнение примет вид
- •Его общее решение
- •Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид
- •Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет
- •Пример. Решить задачу Коши для уравнения
- •Общее решение уравнения имеет вид
- •Будем искать частное решение однородной системы в виде
- •Подставляя (2.99) в (2.98), получим систему
- •Характеристическое уравнение системы будет
- •Общее решение однородной системы (2.98) запишется в виде
- •Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:
- •Пример. Решить систему
- •Общее решение однородной системы, согласно (2.105), имеет вид
- •Принимаем частное решение системы (2.111) в виде
- •Интегрируя эти уравнения, получим
- •Общее решение системы запишется в виде:
- •Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
- •Будем искать решение задачи в виде
- •Задача сводится к решению дифференциального уравнения
- •Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде
- •Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.125).
- •Решение методом Бубнова
- •Решение методом наименьших квадратов
- •Решение методом коллокаций
- •В результате находим
- •Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.
- •Согласно формулам Эйлера [7]
- •Учитывая формулу (3.3) и применяя теорему линейности, получим
- •Аналогично
- •Таблица 4
- •Применяя формулу (3.25), находим
- •Поэтому
- •то применяя теорему линейности, окончательно найдем
- •Разложение данной дроби на простейшие имеет вид
- •После приведения к общему знаменателю получим
- •Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Пример. Решить операционным методом уравнение
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант № 26
- •Вариант № 27
- •Вариант № 29
- •ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
- •Таблица 2
- •Таблица 3
- •ЛИТЕРАТУРА
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
- •УРАВНЕНИЯМ……………………………………………………… 100
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ…………… 131
135
ЛИТЕРАТУРА
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2. М.: Наука, 1985. -560 с.
2.Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 1983. -128 c.
3.Бугров Л.С., Никольский С.Н. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.:Наука, 1989.- 464 с.
4.Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. М.: Высш. школа, 1989. -383 с.
5.Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, Глав. ред. физико-матем. лит-ры, 1980. -232 с.
6.Ахметшин А.А., Ишмухаметов А.З., Тюмнев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие. М.: МАМИ, 2002. -144 с.
7.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного пе- ре-менного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука. Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1968. -416 с.
8.Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. (Серия “Физико-математическая библиотека инже-нера”). М.: Наука. Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1971. -288 c.
9.Григолюк Э.И., Попович В.Е. О применении степенных рядов для интег-
рирования дифференциальных уравнений. Учебное пособие. № 540. М.: МАМИ, 1979. -61 с.
10.Григолюк Э.И., Попович В.Е. О реализации на ЭЦВМ мето дов степенных рядов. Методические указания № 539. М.: МАМИ, 1987. -36 с.
11.Попович В.Е., Кузнецов Е.Б. Методические указания к выполнению домашнего задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям. МУ № 553. М.: МАМИ, 1986. -58 с.
12.Григолюк Э.И., Попович В.Е. Приближённые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Методические указания по курсу "Обыкновенные дифференциальные уравнения" для студентов заочного отделения всех специальностей. № 1304. М.: МАМИ, 1997. - 41с.
136
13.Коган Е.А., Попович В.Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Часть I. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ по курсу "Высшая математика" для студентов заочного отделения. МУ № 1413. М.: МАМИ, 1998. -78 c.
14.Корнейчук Л.Г. Методические указания к решению задач по операционному исчислению для студентов всех специальностей. М.: МАМИ. Отп. в ООО “Компания Спутник”. 2000. -31 c.
15.Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука. Глав. ред. физико-матем. лит-ры, 1968. -504 с.
16.Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. -288 с.
17.Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, Глав. ред. физико-матем. лит-ры, 1978. -512 с.
18.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. Учеб. пособие. М.: Высш. школа, 2004. -480 с.
19. Пирумов У.Г. Численные методы. Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, 2003. -224 с.
20.Григолюк Э.И. Метод Бубнова. Истоки, формулировка, развитие. М.: НИИ Механики МГУ, 1996. -58 с.
|
137 |
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
стр. |
ВВЕДЕНИЕ |
..................................................................................................... 3 |
1.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА…………………………………………………… 6
. |
1.1. Основные понятия............................................................................... |
6 |
|
1.2. Геометрическая интерпретация дифференциального |
|
|
уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины…….. |
8 |
|
1.3.Дифференциальные уравнения с разделенными и |
|
|
разделяющимися переменными........................................................ |
10 |
|
1.4. Однородные дифференциальные уравнения................................... |
11 |
|
1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся |
|
|
к однородным................................…………………………………. |
12 |
|
1.6.Линейные дифференциальные уравнения........................................ |
14 |
|
1.7.Уравнение Бернулли........................................................................... |
17 |
|
1.8.Уравнение в полных дифференциалах.............................................. |
19 |
|
1.9. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно |
|
|
производной………………………………………………………… 22 |
|
|
1.10. Приближенные методы интегрирования обыкновенных |
|
|
дифференциальных уравнений первого порядка……………….. 27 |
|
|
1.10.1. Метод последовательных приближений (метод Пикара) |
28 |
1.10.2.Метод Эйлера………………………………………………. 30
2.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
N- ГО ПОРЯДКА....................................................................................... |
32 |
2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений n - го |
|
порядка методом понижения порядка.............................................. |
33 |
2.2. Решение линейных неоднородных дифференциальных |
|
уравнений n - го порядка с постоянными коэффициентами .......... |
38 |
2.2.1. Построение общего решения линейного однородного |
|
дифференциального уравнения n – го порядка……………. 40 |
|
2.2.2. Метод подбора частного решения………………………….. 43 |
|
2.2.3. Метод вариации произвольных постоянных………………. |
53 |
2.3. Задачи на собственные значения........................................................ |
56 |
2.4. Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами 59 |
|
138
2.4.1.Уравнение Эйлера…………………………………………. 60
2.4.2.Решение задачи Коши методом степенных рядов………. 63
2.4.3.Построение общего решения линейного неоднородного уравнения методом степенных рядов…………………….. 65
2.4.4.Разложение решения задачи Коши в ряд Тейлора……… 67
2.5. Cистемы дифференциальных уравнений...................................... |
69 |
2.5.1.Метод исключения неизвестных………………………… 69
2.5.2.Метод Эйлера……………………………………………… 71
2.5.3.Метод вариации произвольных постоянных…………… 74
2.6.Приближенные аналитические методы решения обык-
новенных дифференциальных уравнений..................................... |
76 |
2.6.1.Метод Бубнова…………………………………………… 78
2.6.2.Метод наименьших квадратов…………………………… 79
2.6.3.Метод коллокаций…………………………………………. 79
3. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ....................................................... |
83 |
3.1. Преобразование Лапласа ................................................................ |
83 |
3.2. Обратное преобразование Лапласа................................................. |
91 |
3.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений |
|
операционным методом...................................................................... |
98 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ |
|
РАБОТЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ |
|
УРАВНЕНИЯМ……………………………………………………… 100 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ |
|
РАБОТЫ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ…………… 131 |
|
ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................... |
135 |
139
Коган Е.А.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Учебное пособие по дисциплине “математика” для студентов, обучающихся по специальности “Автомобиле- и тракторостроение”. М.: МАМИ. 2007. -
140 с.
Подписано в печать |
Заказ |
Тираж |
экз. |
Усл. п. л. |
Уч. – изд. л. |
|
|
Бумага типографская формат 60:90/16 |
|
|
|
__________________________________________________________________
_
МГТУ “МАМИ” 107023 Москва Б. Семеновская, 38
140
Для заметок