- •ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Е.А.КОГАН
- •Москва 2007
- •Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"
- •Е.А. Коган
- •Москва 2007
- •1.1. Основные понятия
- •Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:
- •Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.
- •Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.
- •Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.
- •Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида
- •Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.
- •Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения
- •Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
- •Следовательно, общий интеграл уравнения будет
- •Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными
- •Тогда
- •Полагаем
- •Тогда уравнение примет вид
- •Дифференциальное уравнение вида
- •В результате уравнение приводится к однородному
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(x), интегрируя которое, находим эту функцию.
- •В результате, общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде
- •Общее решение уравнения примет вид
- •Находим произвольную постоянную C из начального условия:
- •После разделения переменных получим
- •Тогда уравнение (1.18) примет вид
- •Следовательно,
- •Уравнением Бернулли называется уравнение вида
- •Уравнение вида
- •Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
- •Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение уравнения будет иметь вид
- •После интегрирования получим
- •Следовательно, общее решение уравнения (2.22) будет
- •Далее ищем решение уравнения (2.21) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.23), но произвольную постоянную в (2.23) заменяем неизвестной функцией
- •Подставляя (2.24) в (2.21), получим
- •Отсюда следует
- •и с учетом (2.14)
- •N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
- •а общее решение запишется в виде
- •Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
- •Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
- •Пример. Решить уравнение
- •Определитель этой системы
- •Поэтому для определения варьируемых функций согласно (2.44) получаем дифференциальные уравнения вида
- •Интегрируя уравнения (2.49), находим
- •Подставляя (2.50) в (2.48), получим общее решение уравнения в виде
- •Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи:
- •Подставляя это решение в граничные условия, убеждаемся в том, что они удовлетворяются только при
- •Подставляя это выражение в граничные условия, получим
- •Чтобы краевая задача имела ненулевые решения, необходимо принять
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.51) при граничных условиях
- •Общее решение уравнения согласно (2.55) имеет вид
- •Вычисляем
- •Ненулевое решение ее существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
- •Раскрывая этот определитель, получим уравнение относительно параметра
- •корни которого являются собственными значениями задачи:
- •Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
- •Пример. Решить уравнение
- •Уравнение (2.66) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.64), (2.65). Тогда уравнение примет вид
- •Его общее решение
- •Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид
- •Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет
- •Пример. Решить задачу Коши для уравнения
- •Общее решение уравнения имеет вид
- •Будем искать частное решение однородной системы в виде
- •Подставляя (2.99) в (2.98), получим систему
- •Характеристическое уравнение системы будет
- •Общее решение однородной системы (2.98) запишется в виде
- •Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:
- •Пример. Решить систему
- •Общее решение однородной системы, согласно (2.105), имеет вид
- •Принимаем частное решение системы (2.111) в виде
- •Интегрируя эти уравнения, получим
- •Общее решение системы запишется в виде:
- •Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
- •Будем искать решение задачи в виде
- •Задача сводится к решению дифференциального уравнения
- •Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде
- •Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.125).
- •Решение методом Бубнова
- •Решение методом наименьших квадратов
- •Решение методом коллокаций
- •В результате находим
- •Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.
- •Согласно формулам Эйлера [7]
- •Учитывая формулу (3.3) и применяя теорему линейности, получим
- •Аналогично
- •Таблица 4
- •Применяя формулу (3.25), находим
- •Поэтому
- •то применяя теорему линейности, окончательно найдем
- •Разложение данной дроби на простейшие имеет вид
- •После приведения к общему знаменателю получим
- •Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Пример. Решить операционным методом уравнение
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант № 26
- •Вариант № 27
- •Вариант № 29
- •ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
- •Таблица 2
- •Таблица 3
- •ЛИТЕРАТУРА
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
- •УРАВНЕНИЯМ……………………………………………………… 100
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ…………… 131
89
Таблица 4
Таблица соответствия между основными оригиналами и изображениями
Функция – оригинал f(t) |
Изображение F(p) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ea t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
p − a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Sin t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
p2 +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
cosωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||
|
|
|
|
p2 +ω2 |
|
|
||||||||||||||
sinωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
||||||||||||
|
|
|
|
p2 +ω2 |
|
|
||||||||||||||
chωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||
|
|
|
|
p2 −ω2 |
|
|
||||||||||||||
shωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
||||||||||||
|
|
|
|
p2 −ω2 |
|
|
||||||||||||||
e−a t cosωt |
|
|
|
|
|
|
p + a |
|||||||||||||
|
|
|
(p + a)2 +ω2 |
|
||||||||||||||||
e−a t sinωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
||||||||||||
|
|
|
(p + a)2 +ω2 |
|
||||||||||||||||
cos (ωt −α) |
|
|
p |
|
|
|
|
e−(α /ω) p |
||||||||||||
|
|
p2 +ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin(ωt −α) |
|
|
ω |
|
|
|
|
e−(α / ω) p |
||||||||||||
|
|
p2 +ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
||||||||||
t 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
||||||||||
t n |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
pn+1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
f3 (t) = e−2t |
t cos3t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим |
f3 (t) в виде |
|
f3 (t) = tϕ(t). |
|
|
Для функции ϕ(t) = e−2t cos3t |
|||||||||||||||||||||||||||||
изображение известно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e−2t |
cos3t • =• |
|
|
|
p + 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(p + 2)2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
По теореме дифференцирования изображения |
|
|
−t |
f (t)• = |
• |
F |
′ |
|
. Следова- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(p) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t e−2t cos3t • =• − |
d |
|
|
|
p + |
2 |
|
|
= |
|
|
(p + 2) |
2 |
−9 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(p + 2)2 + |
|
[(p + 2)2 + 9]2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dp |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. |
f4 (t) = e−3t (0,5+ cos2 2t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 2t = |
1+ cos 4t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f4(t) =e−3t + 1e−3t cos 4t • =• |
|
1 |
|
|
|
.+ |
|
|
|
|
|
p + 3 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
p + 3 |
|
2[(p + 3)2 +16] |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
f5(t) = 2cos 4t cos 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
cosα cos β = 0,5[cos (α − β)+ cos (α + β)], |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2cos 4t cos 2t = cos 2t + cos 6t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что cosωt • =• |
|
p |
|
|
|
, по теоремам подобия и линейности по- |
|||||||||||||||||||||||||||||
p2 +ω2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f5 (t) = cos 2t + cos6t • |
= |
• |
|
|
p |
|
|
+ |
|
|
p |
|
|
|
|
|
= |
|
2 p(p2 + 20) |
|
. |
|||||||||||||
|
|
p2 + 4 |
|
p2 + |
36 |
|
|
(p2 + 4)(p2 + 36) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Замечания.
1. Грубой ошибкой будет представление изображения заданных функций в виде произведения изображений, соответствующих каждому из со-
91
множителей, так как умножению оригиналов в пространстве оригиналов соответствует другая операция в пространстве изображений [7,8,14].
2. Решение приведённых задач возможно различными способами. В пособии указан лишь один из возможных способов решения.
3.2. Обратное преобразование Лапласа
При практическом применении преобразования Лапласа всегда приходится решать обратную задачу - построение оригинала по его изображению. Общий метод построения оригинала f(t) по заданному изображению
F(p) базируется на теореме обращения (формуле Меллина):
|
1 |
γ +i∞ |
|
|
|
f (t) = |
∫F(p)e pt dp, |
γ >α, t > 0, |
(3.22) |
||
|
|||||
|
2π i γ −i∞ |
|
|
||
где интегрирование проводится по любой бесконечной прямой Re p = γ, лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа
[7,8,14].
Непосредственно формулой (3.22) для нахождения оригинала по известному изображению пользуются редко. Но так как в ней рассматривается интеграл от аналитической функции, взятый по пути интегрирования в комплексной плоскости, то нахождение оригинала можно упростить, используя теорию вычетов [7].
Будем предполагать, что F(p) - аналитическая функция во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек, удовлетворяющих условию lim F(p) = 0 . Можно показать, что при этом интеграл
p→∞ |
|
|
|
|
(3.22) равен сумме вычетов по всем особым точкам ak функции |
F(p) [7]: |
|||
f (t) = ∑Re s[F(p)e pt ,ak ]. |
(3.23) |
|||
Пример. Пусть F(p) = |
p |
|
. Найти f (t). |
|
p2 +1 |
|
|||
|
|
|
||
Так как для функции |
F(p) |
нули знаменателя равны ±i |
и являются |
|
простыми полюсами, то применяя формулу (3.23) и формулу для вычисления вычета относительно простого полюса [7], получим при t > 0 :
92
|
pe |
pt |
|
|
pe |
pt |
|
= ie |
it |
|
−ie |
−it |
= e |
it |
+ e |
−it |
||
f (t) = Re s |
|
|
, i |
+ Re s |
|
|
, −i |
|
+ |
|
|
= cost. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2i |
|
2 |
|||||||||
p2 +1 |
|
p2 +1 |
|
2i |
|
|
|
|
||||||||||
В самом распространенном случае изображение F(p) является несократимой дробно - рациональной функцией вида
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) = |
|
A(p) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где A(p) и B(p) - многочлены, |
|
|
причем степень |
|
многочлена |
B(p) больше |
|||||||||||||||||||
степени многочлена A(p). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если знаменатель |
рациональной дроби B(p) имеет простые ненулевые |
|||||||||||||||||||||||
корни |
a1, a2 , , an ,, то есть если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
B(p) = (p − a1)(p − a2 ) (p − an ), |
|
|
|||||||||||||||||||||
то оригинал функции F(p) может быть найден по формуле |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A(p) |
• |
|
|
|
|
|
n A(a |
k |
) |
|
a |
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
F(p) |
= |
|
|
|
|
=• f (t) |
= ∑ |
|
|
|
|
e |
|
k |
|
. |
|
(3.24) |
|||||
|
B(p) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1B (ak ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример. Найти оригинал по его изображению |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F(p) |
= |
|
|
p −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p2 +5p + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
A(p) = p −1, |
B(p) = p |
2 |
+5p |
+ 6 = (p +3)(p |
+ 2), |
′ |
|
|||||||||||||||||
|
B (p) = 2 p +5. |
||||||||||||||||||||||||
Корни знаменателя a1 = −3, |
|
a2 = −2 . Следовательно, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
A(a1) = A(−3) = −4, |
|
A(a2 ) = A(−2) = −3, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
B′(a1) = B′(−3) = −1, |
|
B′(a2 ) = B′(−2) =1. |
|
|
|||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p −1 |
|
|
• =• |
− 4e3t + |
|
−3 e−2t |
= 4e−3t −3e−2t . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
p2 + 5p + 6 |
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если один из простых корней знаменателя B(p) равен нулю, то есть |
||||||||||||||||||||||||
B(p) можно представить в виде |
|
B(p) = pB1(p), где |
|
B1(0) ≠ 0 , |
то оригинал |
||||||||||||||||||||
находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||