- •ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Е.А.КОГАН
- •Москва 2007
- •Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"
- •Е.А. Коган
- •Москва 2007
- •1.1. Основные понятия
- •Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:
- •Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.
- •Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.
- •Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.
- •Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида
- •Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.
- •Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения
- •Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
- •Следовательно, общий интеграл уравнения будет
- •Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными
- •Тогда
- •Полагаем
- •Тогда уравнение примет вид
- •Дифференциальное уравнение вида
- •В результате уравнение приводится к однородному
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(x), интегрируя которое, находим эту функцию.
- •В результате, общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде
- •Общее решение уравнения примет вид
- •Находим произвольную постоянную C из начального условия:
- •После разделения переменных получим
- •Тогда уравнение (1.18) примет вид
- •Следовательно,
- •Уравнением Бернулли называется уравнение вида
- •Уравнение вида
- •Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
- •Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение уравнения будет иметь вид
- •После интегрирования получим
- •Следовательно, общее решение уравнения (2.22) будет
- •Далее ищем решение уравнения (2.21) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.23), но произвольную постоянную в (2.23) заменяем неизвестной функцией
- •Подставляя (2.24) в (2.21), получим
- •Отсюда следует
- •и с учетом (2.14)
- •N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
- •а общее решение запишется в виде
- •Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
- •Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
- •Пример. Решить уравнение
- •Определитель этой системы
- •Поэтому для определения варьируемых функций согласно (2.44) получаем дифференциальные уравнения вида
- •Интегрируя уравнения (2.49), находим
- •Подставляя (2.50) в (2.48), получим общее решение уравнения в виде
- •Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи:
- •Подставляя это решение в граничные условия, убеждаемся в том, что они удовлетворяются только при
- •Подставляя это выражение в граничные условия, получим
- •Чтобы краевая задача имела ненулевые решения, необходимо принять
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.51) при граничных условиях
- •Общее решение уравнения согласно (2.55) имеет вид
- •Вычисляем
- •Ненулевое решение ее существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
- •Раскрывая этот определитель, получим уравнение относительно параметра
- •корни которого являются собственными значениями задачи:
- •Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
- •Пример. Решить уравнение
- •Уравнение (2.66) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.64), (2.65). Тогда уравнение примет вид
- •Его общее решение
- •Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид
- •Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет
- •Пример. Решить задачу Коши для уравнения
- •Общее решение уравнения имеет вид
- •Будем искать частное решение однородной системы в виде
- •Подставляя (2.99) в (2.98), получим систему
- •Характеристическое уравнение системы будет
- •Общее решение однородной системы (2.98) запишется в виде
- •Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:
- •Пример. Решить систему
- •Общее решение однородной системы, согласно (2.105), имеет вид
- •Принимаем частное решение системы (2.111) в виде
- •Интегрируя эти уравнения, получим
- •Общее решение системы запишется в виде:
- •Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
- •Будем искать решение задачи в виде
- •Задача сводится к решению дифференциального уравнения
- •Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде
- •Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.125).
- •Решение методом Бубнова
- •Решение методом наименьших квадратов
- •Решение методом коллокаций
- •В результате находим
- •Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.
- •Согласно формулам Эйлера [7]
- •Учитывая формулу (3.3) и применяя теорему линейности, получим
- •Аналогично
- •Таблица 4
- •Применяя формулу (3.25), находим
- •Поэтому
- •то применяя теорему линейности, окончательно найдем
- •Разложение данной дроби на простейшие имеет вид
- •После приведения к общему знаменателю получим
- •Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Пример. Решить операционным методом уравнение
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант № 26
- •Вариант № 27
- •Вариант № 29
- •ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
- •Таблица 2
- •Таблица 3
- •ЛИТЕРАТУРА
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
- •УРАВНЕНИЯМ……………………………………………………… 100
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ…………… 131
132
З А Д А Ч А № 2
Найти оригинал по Лапласу f (t) функции комплексной переменной F (p). Описание функции F (p) взять из таблицы 2 по номеру своего варианта.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
F(p) |
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) |
||||||||||||||||||||||||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
p2 + 4 p +5 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 +3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p3 + 2 p2 +5 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
(p −1) (p − 2) (p +3) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
p +1 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p2 (p2 −5 p + 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p −1) (p2 − p − 2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
p + 4 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p +5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p3 −3 p2 + 2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p (p2 − p −6) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
p + 4 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p (p2 + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p −1) (p2 −3 p − 28) |
|
|||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 2 p +3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(p −1)(p2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 + p2 +3 p |
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
p(p2 −9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 2 p +3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 +1 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p +3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 +3 p + 4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(p −1)(p + 2)(p −3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
3 p2 − 2 p +1 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p −3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p2 − 4) (p +1) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p3 +5p2 + 4p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p − 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
(p +1) (p2 −3 p + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 2 p +5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
p2 +3p + 4 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 + 2 p2 + 4p |
|
|
|
|
|
|
|
(p −1) (p2 + 4p −1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p (p2 −5p + 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 4p +10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
p +3 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p3 −7 p2 +12p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p + 2) (p2 −1) |
|
133
13 |
|
|
p + 2 |
|
|
28 |
|
|
p2 +3 p + 4 |
|
||
|
|
|
p (p2 +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p (p2 −3 p + 2) |
|
|||
14 |
|
|
2 p |
|
|
29 |
|
|
p2 +1 |
|
||
|
|
(p −3) (p2 + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(p2 +9) (p − 2) |
|
|||||
15 |
|
3 |
|
|
|
30 |
|
|
p2 +3 |
|
||
|
|
|
p (p2 − 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 (p2 + 6) |
|
|
ЗА Д А Ч А № 3
Спомощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
L [y (t)]= f (t),
y (0) = y0 , y′(0) = y1, y′′(0) = y2 .
Значения чисел y0 , y1 , y2 и описание уравнения взять в таблице 3.
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
|
|
№ |
L [ y (t )]= f ( t ) |
y0 |
y1 |
|
y2 |
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y′′ + 9y = −18 sh 3t |
2 |
0 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
2 |
y′′ + 4y′ + 2 y = e2t |
1 |
1 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
3 |
y′′ + 4y =t |
0 |
1 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
4 |
y′′ − 2 y′ −8y =sin t |
2 |
1 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
5 |
y′′ − 2 y′ = cos t |
0 |
1 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
6 |
y′′′− 4y′′ = −2 e3t |
0 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
y'''−4y'= cost |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
y'''+4y''= sin 2t |
0 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
y''−6y'+5y = 2t |
0 |
0 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
10 |
y''+4y = 3et |
1 |
2 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
11 |
y'+4y = sin t |
0 |
- |
|
- |
|
|
|
|
|
|
12 |
y''+y'= cos 2t |
0 |
1 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
134
13 |
y''−2y'+y = 0 |
1 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
14 |
y''+2y = ch t |
1 |
0 |
- |
|
|
|
|
|
15 |
y''−2 y = cos t |
1 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
16 |
y'−3y = sin 2t |
1 |
- |
- |
|
|
|
|
|
17 |
y''+9y = sin 2t |
0 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
18 |
y''+5y = cos 2t |
1 |
0 |
- |
|
|
|
|
|
19 |
y'+5y = t |
1 |
- |
- |
|
|
|
|
|
20 |
y''−4y'−5y = 2e3t |
1 |
3 |
- |
|
|
|
|
|
21 |
y''+6 y = sin t |
1 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
22 |
y'+4y = 2sh t |
1 |
0 |
- |
|
|
|
|
|
23 |
y''−2y'−3y = sin 2t |
0 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
24 |
y'''+4y'= t |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
25 |
y'''+4y''= sin t |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
26 |
y'+6 y = cos t |
1 |
- |
- |
|
|
|
|
|
27 |
y''+y = et |
1 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
28 |
y''+2 y'−3y = e−t |
0 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
29 |
y''−3y'+2y = e−3t |
1 |
-1 |
- |
|
|
|
|
|
30 |
y''+4y = 4e2t |
0 |
1 |
- |
|
|
|
|
|