Применяя формулу (3.25), находим

Поэтому

то применяя теорему линейности, окончательно найдем

Разложение данной дроби на простейшие имеет вид

После приведения к общему знаменателю получим

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

		93
A(p)	• =• f (t) =	A(0)	+ ∑	A(ak )	eakt .	(3.25)
pB1(p)	• =• f (t) =	B1(0)	+ ∑	ak B1′(ak )	eakt .	(3.25)
pB1(p)		B1(0)		ak B1′(ak )

Здесь суммирование распространяется на все ненулевые корни многочлена B1(p).

Пример. Найти оригинал по его изображению

F(p)

Здесь

A(p) = p + a;

B1(p) = (p +b)(p


		p + a
=			.
	p(p +b)(p + c)
		B(p) = p(p +b)(p + c);
+ c);		B1′(p) = 2 p +b + c.

Корни многочлена

B1(p):

a1 = −b, a2

= −c .

Поэтому

A(0) = a,

A(a1) = a −b,

A(a2 ) = a −c,

B1(0) = bc,

B1′(a1) = c −b,

B1′(a2 ) = b −c.

p + a

•

=•

a −b

e−bt

a − c

e−ct =

p(p + b)(p + c)

(−b)(c −b)

(−c)(b − c)

a −b

e−bt −

a − c

e−ct .

b(b − c)

c(b − c)

Если знаменатель B(p) имеет кратные корни, применяя формулу для вычисления вычета относительно полюса n-го порядка, можно получить, что

оригиналом для функции

F(p) будет функция [7]:

nk −1

A(p)e

f (t) = ∑

lim

(p − ak )nk

(3.26)

−1

B(p)

(nk −1)!p→ak dp

где ak −нули знаменателя B(p), а nk

− их кратность. Эта формула называет-

ся теоремой разложения.

Пример. Найти оригинал по его изображению

F(p) =	1	.
	(p −2)2 p3

Для функции F(p)

точка p1 = 2

является полюсом второго порядка,

а p2 = 0 - полюсом третьего порядка. Вычисляем вычеты функции

F(p)e pt

в этих полюсах. Применяя формулу (3.26),

получим

Re s [F(p)e

, p1 = 2]=

lim

− 2)

= lim

(p − 2)

1! p→2

p→2 dp

−3p

= lim

−

p→2

d 2

e pt

d 2

e pt

Re s[F(p)e , p2 =

0]=

lim

(p − 2)

2! p→0

2 p→0 dp

	1			d			te	pt					2e		pt				1		t	2	e	pt			4te		pt			6e	pt
=	1	lim		d			te				−		2e					=	1	lim	t		e			−	4te				+	6e			=
										2							3								2					3				4
						(p − 2)				2			(p − 2)				3				(p − 2)				2		(p	− 2)		3		(p − 2)		4
	2 p→0 dp					(p − 2)							(p − 2)						2 p→0		(p − 2)						(p	− 2)				(p − 2)
	1		2		4t		6				t	2		t			3
=	1	t		+	4t	+	6		=		t		+	t	+		3	.
		t
	2				8		16				8			4		16
	2	4			8		16				8			4		16

В результате по формуле (3.26) находим

f (t) = Re s[F(p)e pt , p1 = 2]+ Re s[F(p)e pt , p2

= 0]= e2t

(2t −3) + t 2

[e2t (2t −3) + 2t 2

+ 4t + 3].

Весьма эффективным способом нахождения оригиналов является раз-

ложение дроби F(p) = A(p) на простейшие.

B(p)

Как известно, если правильная несократимая рациональная дробь

F(p) = A(p) может быть представлена в виде суммы простейших дробей, то

B(p)

каждому действительному корню ak кратности n соответствует выражение вида:

A1	+	A2	+...+	An	,
(p − ak )n		(p − ak )n−1
				p − ak

а каждому множителю в знаменателе вида (p2 + q p + q									2	)r - выражение вида
							1		2
	B1 p + C1			+		B2 p + C2	+...+	Br p + Cr			,
	(p2 + q p + q	2	)r	+	(p2	+ q1 p + q2 )r−1	+...+	p2 + q1 p + q2			,
1		2

где коэффициенты в числителе подлежат определению. Число их всегда строго соответствует степени знаменателя. Они находятся или методом неопределенных коэффициентов или путем задания частных значений p.

Этот метод особенно удобен, когда среди корней знаменателя есть комплексные корни, так как тогда при построении оригинала не придется переходить от комплексных функций к действительным.

Пример. Дано изображение

F(p) = p(p −p22)(+p12 + 4).

Найти оригинал f(t)• =• F(p).

Разложим заданную дробь на простейшие:

p2 +1		=	A	+	B	+	Cp + D		.
p(p − 2)(p2	+ 4)		p		p − 2		p2	+ 4

Приводя к общему знаменателю, получим

	p2 +1= A(p − 2)(p2 + 4)+ Bp(p2 + 4)+ (Cp + D)p(p − 2).
При p = 0	1	= -8A,
При p = 2	5	= 16B,

следовательно, A = -1/8, B = 5/16.

Приравнивая далее коэффициенты, например, при p3 и p в левой и правой частях равенства, получим

p2 +1

= −

−

3 1

p(p − 2)(p2 + 4)

p − 2

p2 + 4

8 p2

+ 4

Так как

• =• 1,

•

=• e2t ,

• =• cos 2t,

p − 2

p2 + 4

•

=•

sin2t.

p2 + 4

p2 +1

•

=•

−

cos 2t +

sin 2t.

p(p − 2)(p2 + 4)

Пример. Найти оригинал по его изображению

F(p)

p2 (p −3)

p2 (p −3)

p −3

= A + B +C,

отсюда следует

C = −3/16, D = 3/ 8.

= 4A + 4B − 2D,

1= A(p −3)+ Bp(p −3)+Cp2 .

При p = 0 1 = -3A, откуда

A = - 1/3;

при p = 3 1 = 9C, откуда

C = 1/9.

Приравнивая далее коэффициенты при

в правой и левой частях равенст-

ва, получим уравнение

0 = B + C,

из которого следует B = - 1/9.

Итак,

= −

−

+ 1

1 •

=•

−1t −

+ 1e3t .

p2 (p

−3)

p −3

3 9 9

Если знаменатель рациональной дроби представляет собой квадратный трёхчлен, корни которого комплексные, удобно представить его в виде суммы квадратов слагаемых и применить теорему смещения изображения.

Пример. Найти оригинал по его изображению

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015445.14 Кб20Математика_Семестр1_РГР_Матан_1.pdf
#
05.06.2015740.8 Кб14Математика_Семестр1_РГР_Матан_4-6.pdf
#
05.06.2015441.83 Кб15Математика_Семестр1_РГР_Матан_7.pdf
#
05.06.2015322.21 Кб19Математика_Семестр2_РГР_Матан_2.pdf
#
05.06.20151.31 Mб26Математика_Семестр2_РГР_Ряды.pdf
#
05.06.20151.75 Mб157Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.20153.73 Mб492Математика_Семестр4_МетодПособие.pdf
#
27.03.2016264.31 Кб22материаловед.docx
#
08.11.2018217.6 Кб10Машины и оборудование.doc
#
25.04.20195.65 Mб11Менеджмент в строительстве.doc
#
27.03.2016470.02 Кб30Мет.ук.по ДП2.doc