Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Это явление совпадения частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний системы называется резонансом.

2.2.3. Метод вариации произвольных постоянных

Если известно общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего заданному неоднородному, то его частное решение может быть найдено методом вариации произвольных посто-

янных (методом Лагранжа).

Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

y′′+ a1y′+ a2 y = f (x).

(2.40)

Сначала находим общее решение соответствующего линейного однородного уравнения L(y) = 0 в виде

y0 = C1y1 +C2 y2 ,

(2.41)

где C1 и C2 - произвольные постоянные, y1, y2 - частные линейно независимые решения однородного уравнения.

Далее ищем решение неоднородного уравнения (2.40), аналогичное по структуре (2.41), но произвольные постоянные в (2.41) заменя ем неизвестными функциями, а именно принимаем

y =C1(x)y1 + C2 (x)y2 .

(2.42)

Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений

C′(x)y		+ C′	(x)y	2	= 0,		(2.43)
1	1	2			= f	(x),
C1′(x)y1′ + C2′(x)y2′

в которой первое уравнение вводится произвольно (как дополнительное условие, налагаемое на функции C1(x) и C2 (x)). Определитель этой системы - определитель Вронского

W =	y1	y2	≠ 0,
W =	y1	y2	≠ 0,
	y1′	y2′

так как функции

линейно независимы.

Поэтому система (2.43),

рассматриваемая

как

система линейных алгебраических уравнений относи-

тельно С1′(x), С2′(x), имеет

решение и притом единственное. Оно представ-

ляется в виде

C1′(x) = −

y2 f (x)

C2′(x) =

y1 f (x)

(2.44)

Интегрируя

дифференциальные уравнения

первого порядка (2.44),

находим

С (x) = −

∫

y2 f (x)

dx + C ,

(x) =

y1 f (x)

dx +C .

(2.45)

∫

Подставляя (2.45)

в (2.42), получим общее решение неоднородного

уравнения в виде

y =C1y1

+ C2 y2 − y1

∫

f (x)

dx + y2

∫

y1 f

(x)

dx.

(2.46)

Последние два слагаемых в правой части формулы (2.46) определяют частное решение неоднородного уравнения (2.40).

Таким образом, если известна фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения y1, y2 , то общее решение неоднородного уравнения может быть найдено с помощью квадратур (то есть неопредёленных интегралов от этих решений).

Замечание. Метод вариации произвольных постоянных является общим методом, пригодным для построения решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений (как с переменными, так и с постоянными коэффициентами) при произвольной непрерывной правой части. Но он является принципиально более сложным, чем метод подбора, так как его реализация связана с интегрированием дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правыми частями специального вида, указанными в таблице 2, проще применять метод подбора частного решения.

Пример. Решить уравнение

	′′		′	e−2x
y		+ 4y		+ 4y = x .	(2.47)

1). Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y′′+ 4y′+ 4y = 0.

Составляем характеристическое уравнение									k 2 + 4k + 4 = 0. Его корни
k1 = k2 = −2. Следовательно,		частные линейно независимые решения равны
(см. таблицу 1, случай 3а) y			= e−2x ,	y	2	= xe−2x ,			а общее решение
1					2
y	0		= C e−2x +C				2	xe−2x .
	0		1				2

2). Так как правая часть неоднородного уравнения (2.47) не относится ни к одному из рассмотренных в таблице 2 случаев, то частное решение находим методом вариации произвольных постоянных. Принимаем

y =C1(x)e−2x + C2 (x)xe−2x ,

(2.48) где C1(x) и C2 (x) -неизвестные (варьируемые) функции. Тогда их

производные C1′ (x) и C2′(x) могут быть найдены из решения сист	емы
(2.43):

C1′(x)e−2x + C2′(x)− 2C1′(x)e−2x + C2′

Определитель этой системы

e−2x W = − 2e−2x

xe−2x		= 0,
(x)(e	−2x		− 2xe	−2x	) =	e−2x	.
(x)(e			− 2xe		) =	x	.
						x
xe−2x				= e−4x .
xe−2x
e−2x − 2xe−2x
e−2x − 2xe−2x

Поэтому для определения варьируемых функций согласно (2.44) получаем дифференциальные уравнения вида

C1′(x) = −	xe−2x e−2x	= −1,	C2′(x) =	e−2xe−2x	=	1	.	(2.49)
	xe−4x			xe−4x		x

Интегрируя уравнения (2.49), находим
C1(x) = −x +C1,			C2 (x) = lnx +C2 .					(2.50)

Подставляя (2.50) в (2.48), получим общее решение уравнения в виде

y = e−2x [C1 +C2 x + x(lnx −1)].

2.3. Задачи на собственные значения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

y′′+ λ2 y = 0	(2.51)
c однородными граничными условиями	(2.52)
y(0) = 0, y (L) = 0 .	(2.52)
′

Здесь предполагается, что 0 ≤ x ≤ L, λ −некоторый параметр, имеющий определенный физический смысл.

Задача (2.51), (2.52) является однородной краевой задачей. Особенность ее в том, что она имеет "тривиальное" решение y=0. Но кроме того, имеются еще определенные значения параметра λ , при кото рых задача имеет не равные тождественно нулю (нетривиальные) решения. Такие значения параметра λ называются собственными значениями, а соответствующие им ненулевые решения y(x) называются собственными функциями. Сама же задача отыскания собственных значений и собственных функ-

ций называется задачей на собственные значения или задачей Штурма-

Лиувилля. Эта задача представляет большой интерес для физики и для технических приложений. К ней, например, сводятся многие задачи устойчивости и колебаний упругих систем.

Рассмотрим в качестве примера классическую задачу об устойчивости консольно закрепленного стержня, сжатого продольной силой P. С математической точки зрения эта задача сводится именно к задаче на собственные значения (2.51), (2.52) [15]. При этом параметр λ определяется следующим

образом:
λ2 = P / EI,	(2.53)

где EI-изгибная жесткость стержня длиной L. Тривиальное решение y=0 соответствует прямолинейной форме равновесия сжатого стержня. Для определения собственных значений параметра λ следует, во-первых, найти общее решение уравнения (2.51). Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (2.51):

k 2 + λ2 = 0,

(2.54)

имеет мнимые корни k1 = λi , k2 = −λi . Поэтому общее решение уравнения (2.51) принимает вид

y =C1 cosλx + C2 sinλx.

(2.55)

Из первого граничного условия (2.52) следует, что C1 = 0 . Удовлетворяя второму граничному условию, получаем уравнение

C2 λcosλL = 0 .
Из условия существования нетривиального решения C2	≠ 0, λ ≠ 0 .
Следовательно, необходимо принять
cosλL = 0.	(2.56)
Из этого тригонометрического уравнения следует λ L =π / 2 + nπ,	n = 0,1,2,...
Поэтому собственные значения параметра λ равны
λ = π(1+ 2n).	(2.57)
2L

Соответствующие им собственные функции с точностью до постоянного множителя C2 определяются по формуле

y = sin	π(1+ 2n)x	.	(2.58)

	2L
Формулы (2.57), (2.58) дают решение задачи (2.51),			(2.52) на собст-

венные значения. Как видно из (2.57), существует бесконечное множество

собственных значений параметра λ .			Подставляя (2.57) в выражение (2.53),
получим
P =	π 2	(1	+ 2n)2	EI.	(2.59)
		4L2

Из формулы (2.59) следует, что существует множество значений сжимающей силы P, при которых возможны различные искривленные формы равновесия продольно сжатого стержня. Наименьшее значение сжимающей силы, соответствующее n=0, называется критическим и равно

P	=	π 2 EI	.	(2.60)
		4L2
кр