- •ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Е.А.КОГАН
- •Москва 2007
- •Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"
- •Е.А. Коган
- •Москва 2007
- •1.1. Основные понятия
- •Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
- •Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:
- •Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.
- •Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.
- •Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.
- •Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида
- •Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых.
- •Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения
- •Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
- •Следовательно, общий интеграл уравнения будет
- •Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными
- •Тогда
- •Полагаем
- •Тогда уравнение примет вид
- •Дифференциальное уравнение вида
- •В результате уравнение приводится к однородному
- •Возвращаясь к старой переменной, получим
- •Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(x), интегрируя которое, находим эту функцию.
- •В результате, общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде
- •Общее решение уравнения примет вид
- •Находим произвольную постоянную C из начального условия:
- •После разделения переменных получим
- •Тогда уравнение (1.18) примет вид
- •Следовательно,
- •Уравнением Бернулли называется уравнение вида
- •Уравнение вида
- •Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
- •Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение уравнения будет иметь вид
- •После интегрирования получим
- •Следовательно, общее решение уравнения (2.22) будет
- •Далее ищем решение уравнения (2.21) в форме, аналогичной по структуре выражению (2.23), но произвольную постоянную в (2.23) заменяем неизвестной функцией
- •Подставляя (2.24) в (2.21), получим
- •Отсюда следует
- •и с учетом (2.14)
- •N линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
- •а общее решение запишется в виде
- •Рассмотрим его реализацию для линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
- •Подстановка (2.42) в (2.40) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
- •Пример. Решить уравнение
- •Определитель этой системы
- •Поэтому для определения варьируемых функций согласно (2.44) получаем дифференциальные уравнения вида
- •Интегрируя уравнения (2.49), находим
- •Подставляя (2.50) в (2.48), получим общее решение уравнения в виде
- •Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи:
- •Подставляя это решение в граничные условия, убеждаемся в том, что они удовлетворяются только при
- •Подставляя это выражение в граничные условия, получим
- •Чтобы краевая задача имела ненулевые решения, необходимо принять
- •Пример. Найти собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для уравнения (2.51) при граничных условиях
- •Общее решение уравнения согласно (2.55) имеет вид
- •Вычисляем
- •Ненулевое решение ее существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:
- •Раскрывая этот определитель, получим уравнение относительно параметра
- •корни которого являются собственными значениями задачи:
- •Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
- •Пример. Решить уравнение
- •Уравнение (2.66) есть уравнение Эйлера второго порядка. Применим замену независимой переменной и производных по формулам (2.64), (2.65). Тогда уравнение примет вид
- •Его общее решение
- •Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют вид
- •Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет
- •Пример. Решить задачу Коши для уравнения
- •Общее решение уравнения имеет вид
- •Будем искать частное решение однородной системы в виде
- •Подставляя (2.99) в (2.98), получим систему
- •Характеристическое уравнение системы будет
- •Общее решение однородной системы (2.98) запишется в виде
- •Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений n-го порядка. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Пусть общее решение однородной системы уравнений известно:
- •Пример. Решить систему
- •Общее решение однородной системы, согласно (2.105), имеет вид
- •Принимаем частное решение системы (2.111) в виде
- •Интегрируя эти уравнения, получим
- •Общее решение системы запишется в виде:
- •Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
- •Будем искать решение задачи в виде
- •Задача сводится к решению дифференциального уравнения
- •Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде
- •Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.125).
- •Решение методом Бубнова
- •Решение методом наименьших квадратов
- •Решение методом коллокаций
- •В результате находим
- •Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.
- •Согласно формулам Эйлера [7]
- •Учитывая формулу (3.3) и применяя теорему линейности, получим
- •Аналогично
- •Таблица 4
- •Применяя формулу (3.25), находим
- •Поэтому
- •то применяя теорему линейности, окончательно найдем
- •Разложение данной дроби на простейшие имеет вид
- •После приведения к общему знаменателю получим
- •Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Пример. Решить операционным методом уравнение
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант № 26
- •Вариант № 27
- •Вариант № 29
- •ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
- •Таблица 2
- •Таблица 3
- •ЛИТЕРАТУРА
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
- •УРАВНЕНИЯМ……………………………………………………… 100
- •ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
- •РАБОТЫ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ…………… 131
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Е.А.КОГАН
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие по дисциплине “математика” для студентов, обучающихся по специальности “Автомобиле-и тракторостроение”
Москва 2007
2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "МАМИ"
Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"
Е.А. Коган
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности
“Автомобиле-и тракторостроение”
Москва 2007
3
УДК 517.91 (095)
Р е ц е н з е н т ы:
Кафедра “Дифференциальные уравнения” Московского авиационного института (Государственного технического университета)
(зав.кафедрой – д-р физ.- мат. наук, проф. П.С.Красильников); д-р физ.- мат. наук, проф. Е.И.Шифрин (МАТИ – РГТУ им. К.Э.Циолковского)
Коган Е.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Учебное пособие по дисциплине " математика" для студентов, обучающихся по специальности “Автомобиле- и тракторостроение”. -
М.: МАМИ, 2007. - 140 с.
Приведены краткие теоретические сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и по решению их операционным методом. Изложение материала сопровождается подробными решениями типовых задач. Приведены варианты расчетно–графических работ по обыкновенным диффе-ренциальным уравнениям и операционному исчислению. Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий. - Библ. 18.
©Коган Е.А., 2007.
©Московский государственный технический университет "МАМИ"
2007
4
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие является руководством к решению задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению и содержит теоретические сведения в краткой справочной форме (без выводов и доказательств) в объеме, необходимом для понимания сути обсуждаемых методов решения дифференциальных уравнений, встречающихся в расчетнографических работах по упомянутым разделам курса. Строгое и подробное изложение теории дифференциальных уравнений и операционного исчисления содержится во многих учебниках и пособиях [1-15].
Изучение дифференциальных уравнений имеет важнейшее значение в математической подготовке инженера. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.
Вывод дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), описывающих то или иное явление, представляет собой отдельную самостоятельную задачу. Сложность ее состоит в том, что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям. С одной стороны, построенная математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению. С другой стороны, получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по возможности простое решение. Это требует введения различных допущений физического характера, а следовательно, глубокого понимания сути рассматриваемого явления.
С выводом и применением дифференциальных уравнений (или их систем) к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, теоретической механики, сопротивления материалов, электротехники и др.). Предметом настоящего пособия является изучение аналитических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем.
Пособие состоит из трех разделов.
Первый раздел посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. В нем даны краткие теоретические сведения и примеры
5
решения уравнений первого порядка различного типа, интегрируемых в квадратурах.
Во втором разделе рассмотрены точные и приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными и переменными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Подробно изложена методика применения степенных рядов к решению задачи Коши и краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений.
Третий раздел посвящен операционному исчислению. В нем кратко изложены основные свойства преобразования Лапласа, методы прямого и обратного преобразований Лапласа, решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом. Приведены примеры решения соответствующих задач.
В приложениях даны 30 вариантов расчетно - графических работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению.