Уравнение вида

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 305 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1
y =		.
	lnx +1+ Cx
1.8. Уравнение в полных дифференциалах
Уравнение вида
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0			(1.24)

называется уравнением в полных дифференциалах, если коэффициенты M(x,y) и N(x,y) представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию

∂M	=	∂N	.	(1.25)
∂y
		∂x

Условие (1.25) есть необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения (1.24) представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух независимых переменных du(x,y). Поэтому уравнение (1.24) может быть представлено в компактной форме

du(x, y) = 0 .

Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид

u(x, y) = C.

Как известно, полный дифференциал функции двух переменных равен

du(x, y) =	∂u dx + ∂u dy.		(1.26)
	∂x	∂y
Сравнивая выражение (1.26) и левую часть уравнения			(1.24), можно
заключить, что
∂u = M (x,y),	∂u	= N (x, y).	(1.27)
∂x	∂y
Интегрируя, например, первое из выражений (1.27), получим
u = ∫M (x,y)dx +ϕ(y),			(1.28)

где ϕ(y) - произвольная функция интегрирования (в частности, она может быть константой). Заметим, что при вычислении интеграла в (1.28) функция y

рассматривается как постоянная. Функция ϕ(y) определяется из решения дифференциального уравнения, получающегося из соотношения (1.28) и второго условия (1.27).

Пример. Решить уравнение

	(3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4y3 )dy = 0.		(1.29)
Здесь	M (x, y) = 3x2 + 6xy2 ,	N (x, y) = 6x2 y + 4y3	и

∂∂My = ∂∂Nx =12xy.

Поэтому уравнение (1.29) является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно,

∂u	= M (x,y) =3x2	+ 6xy2 ,	∂u	= N (x,y) = 6x2 y + 4y3 ,
∂x			∂y

u = ∫M (x, y)dx +ϕ(y) = ∫(3x2 + 6xy2 )dx +ϕ(y) = x3 +3x2 y2 +ϕ(y).

Дифференцируя последнее равенство по y и приравнивая значению N, получим

∂u		2	′	2		3		′	3
∂y	= 6x		y +ϕ (y) = 6x		y + 4y		,	→ ϕ (y) = 4y		.

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим

ϕ(y)	= y4 +C .
	1
Таким образом,
u = x3 +3x2 y2 +ϕ (y) = x3 +3x2 y2 + y4 +C = C		2
	1	2
и при C = C2 −C1 общий интеграл исходного уравнения запишется в виде
x3 +3x2 y2 + y4 = C.
Если левая часть уравнения	M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0 не является

полным дифференциалом, то при определенных условиях, налагаемых на функции M (x,y) и N (x,y), можно найти такую функцию µ = µ(x,y), что

выражение µ[M (x,y)dx + N (x,y)dy] становится полным дифференциалом. Функция µ(x,y) при этом называется интегрирующим множителем.

Заметим, что отыскание µ из условия	∂(µM )	=	∂(µN )	в общем
	∂y		∂x

случае сводится к интегрированию дифференциального уравнения в частных производных, что является задачей еще более трудной, чем решение исходного уравнения.

Интегрирующий множитель µ легко находится в двух случаях:

если

∂M

− ∂N

F (x),

тогда

µ = µ(x),

∂y

∂x

если

∂M

− ∂N

= F (y),

тогда

µ = µ(y).

∂y

∂x

Пример.

Решить уравнение

−

dx +

2xy +

dy = 0.

(1.30)

Очевидно,

∂M

≠

∂N

Вычисляем

∂y

∂x

∂M

∂N

2 y

−

2 − 2 y −

−

∂y

∂x

= −

2 y +

следовательно,

∂M

∂N

- функция только x.

−

= −

∂y

∂x

x 2y

Поэтому интегрирующий множитель µ = µ(x)

существует.

Так как

∂(µ M ) = ∂(µ N )

или µ

∂M

= µ

∂N + N

∂µ

то из последнего

∂y

∂x

∂y

∂x

равенства следует

					22
∂µ		1	∂M		∂N	∂µ		dx
	=			−	dx и потому		= −		.	Получили дифференци-
	=			−	dx и потому		= −		.	Получили дифференци-
µ			∂y			µ		x
µ		N	∂y		∂x	µ		x

альное уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, находим

µ = 1x .

Умножая исходное уравнение (1.30) на найденный интегрирующий множитель, получим уравнение в полных дифференциалах

−

dx +

2 y +

dy = 0.

(1.31)

Действительно, для уравнения (1.31) ∂∂My = ∂∂Nx = y12 . Интегрируя да-

лее уравнение (1.31), как показано выше, находим общий интеграл исходного уравнения (1.30) в виде

ln xy − xy + y2 =C.

1.9. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Для дифференциального уравнения первого порядка F(x,y,y′) = 0, заданного в неявной форме, также может быть доказана теорема существования и единственности решения.

Функция F в области своего определения задает соотношение между

неизвестной функцией y и независимой переменной x.	Если это соотноше-
ние удается разрешить относительно производной y ,	то получается одно
′

или несколько дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных

относительно производной: y′ = fk (x,y)	(k =1,2,...).
Например, для уравнения y′2 =1	решение получается путем наложе-

ния решений уравнений y′ =1 и y′ = −1.

Рассмотрим сначала два частных случая уравнения F(x,y,y′) = 0.

1. В уравнении отсутствует независимая переменная x, и уравнение может быть разрешено относительно y:

23
y =ϕ(y ).	(1.32)
′

2. В уравнении отсутствует функция y, и уравнение может быть разрешено

относительно x:

x =

ψ(y ).

(1.33)

′

В обоих случаях применяется подстановка

y′ = p,

следовательно,

dy = pdx.

В первом случае после введения параметра уравнение (1.32)

принима-

ет вид y =ϕ(p), следовательно

dy =ϕ

(p)dp или

pdx

=ϕ

(p)dp , откуда по-

′

лучаем уравнение с разделенными переменными

dx =

ϕ′(p)

dp. Интегрируя

его, находим x(p). В результате, получим общее решение

уравнения

(1.32)

в параметрической форме

′

(p)

x =

∫

dp + C,

y =ϕ(p).

Во

втором случае получаем

x =ψ(p),

тогда

=ψ (p)dp и

dy = pψ

′

(1.33)

(p)dp. Поэтому искомые интегральные кривые уравнения

′

будут определяться уравнениями:

′

y =

∫

pψ (p)dp + C,

x =ψ(p).

Пример. Решить уравнение

y′3 − 2 y′ − y = 0.

Перепишем уравнение в виде y = y

′3

′

Полагая

′

= p,

получим

− 2 y .

y = p3 − 2 p. Тогда dy = (3 p2 − 2)dp или pdx = (3 p2 − 2)dp и

dx = (3 p2 − 2)dp .

Интегрируя последнее уравнение, находим общий интеграл исходного

уравнения в параметрической форме

− 2ln p + C,

= p

−

2 p.

Пример. Решить уравнение

x = arcsin y .

′

Полагая

′

= p,

находим

x = arcsin p,

dx =

1− p2

pdp

dy = pdx =

y = ∫

= − 1

− p2

+ C.

1− p2

Поэтому решение исходного уравнения запишется в форме

x = arcsin p,

y = − 1− p2 + C.

Введение

параметров

позволяет

эффективно

решать

и уравнения

F(x,y,y′) = 0, явно содержащие все три переменные. Рассмотрим часто встречающиеся уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнением Лагранжа называется уравнение, разрешенное относи-

тельно искомой функции y	и линейное относительно x и y вида					(1.34)
		y = xϕ(y ) +ψ(y ),				(1.34)
		′	′
Вводя параметр p = y ,		получаем соотношение		y = xϕ(p) +ψ(p).
	′
Дифференцируя его с учетом равенства			dy = pdx, находим
		′	′
pdx =ϕ(p)dx + xϕ (p)dp +ψ (p)dp .
Следовательно,
′	′	dp	′		′	dp
p =ϕ(p) + [xϕ (p) +ψ	(p)]dx ,		p −ϕ(p) =[xϕ	(p) +ψ	(p)]dx

и в результате получаем линейное дифференциальное уравнение относительно x и dpdx :

dx	′	′	(1.35)
p −ϕ(p)dp	= xϕ (p) +ψ (p).

При p −ϕ(p) ≠ 0

dx	−	ϕ′(p)	x =	ψ′(p)	.	(1.36)
dp		p −ϕ(p)		p −ϕ(p)

Интегрируя уравнение (1.36), например, методом вариации произвольной постоянной, его общее решение можно записать в виде x = f (p,C).

В результате получаем общее решение уравнения Лагранжа (1.34) в параметрической форме

x = f (p,C),

(p) = f (p,C)ϕ(p) +ψ(p).

y = xϕ(p) +ψ

Кроме того, существует, так называемое, особое решение уравнения

Лагранжа p = p0 = const и y = xϕ(p0 ) +ψ(p0 ).

Пример. Решить уравнение

= xy

′2

′

(1.37)

− y .

′

y = xp

− p.

Вводим параметр p = y , тогда

Дифференцируя последнее равенство по x, получим

dy = pdx = p2dx + 2 pxdp − dp,

dy = p = p2

+ 2 px dp

− dp

(p − p2 )dx

= 2 px −1.

Последнее уравнение делением на

p − p2 ≠ 0 приводится к линейному диф-

ференциальному уравнению относительно x

dx +

x =

p −1

p(p −1)

Интегрируя его методом вариации произвольной постоянной, найдем

x = p − ln p + C .

(p −1)2

Поэтому общее решение уравнения (1.37) в параметрической форме запишется в виде

	p − ln p + C
x =		,
x =	2	,
	(p −1)
	p − ln p + C
y =	p − ln p + C		p2	− p.
y =			p2	− p.
	(p −1)
	2

Уравнением Клеро называется уравнение, разрешенное относительно искомой функции y и линейное относительно x и y вида

		y = xy	′	+ψ(y ).			(1.38)
			′			′
Полагая	p = y , получим	y = xp +ψ(p).				Дифференцируя по x, находим
	′
						′
	dy = pdx = pdx + xdp +ψ (p)dp
и		′			dp	= 0.	(1.39)
и		[x +ψ (p)]dx				= 0.	(1.39)
Уравнение (1.39) распадается на два независимых уравнения:
1)		dp			= 0,
		dx

поэтому p =C. Тогда, исключая p, находим сразу (без интегрирования) общее решение уравнения Клеро в виде семейства прямых

	y =Cx +ψ(C),	(1.40)
зависящих от одного параметра.		(1.41)
2)	x +ψ (p) = 0.	(1.41)
	′

Во втором случае получаем так называемое особое решение уравнения Клеро

x = −ψ′(p), y = xp +ψ(p)

так как можно показать, что интегральная кривая последнего уравнения является огибающей семейства прямых (1.40).

Пример. Решить уравнение

y = xy′ +

1+ y′2

Это уравнение Клеро. Полагаем

′

тогда

y = xp + 1+ p

Следова-

p = y ,

тельно,

p dp

= p + x

x +

= 0,

+ p

откуда находим

dp = 0,

поэтому

p =C

и y =Cx +

1+ C 2

x = −

. Общее решение в параметрической форме будет

1+ p2

x = −

+ p2

y = px +

= −

1+ p2

+ p

Исключая из этой системы параметр p, находим

y =

1− x2

1.10. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Точное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка возможно лишь для весьма ограниченного класса уравнений. Если уравнение первого порядка и соответствующая задача Коши не имеют точного решения в форме общего и частного интегралов, то применяются различные приближенные аналитические или численные методы решения (см. ниже п. 2.6). Здесь ограничимся двумя методами: методом Пикара и методом Эйлера.

1.10.1. Метод последовательных приближений (метод Пикара)

Этот метод появился в связи с доказательством теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений и обладает большой общностью.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

y′ = f (x,y),	(1.42)
y(x0 ) = y0 ,	(1.43)

правая часть которого f (x,y) в замкнутой ограниченной прямоугольной области {x − x0 ≤ a, y − y0 ≤b} непрерывна и имеет ограниченную частную

производную по переменной y. При этих предположениях задача Коши имеет единственное решение.

Интегрируя обе части уравнения (1.42) от x0 до x, найдем

	x	x
	∫dy =∫ f (x,y)dx,
	x0	x0
		x
или	y(x) = y0 + ∫ f (x,y)dx.		(1.44)
		x0

Полученное уравнение является интегральным уравнением, в котором неизвестная функция y находится под знаком интеграла. Это уравнение эквивалентно исходному дифференциальному уравнению и удовлетворяет на-

чальному условию. Действительно, при x = x0 y(x0 ) = y0 + ∫ f (x,y)dx = y0 .

Решая интегральное уравнение (1.44) методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара.

За нулевое приближение принимаем начальное условие. Подставляя его в правую часть интегрального уравнения (1.40), получим первое приближение

x
y1(x) = y0 + ∫ f (x,y0 )dx.	(1.45)
x0
Далее в уравнении (1.45) заменяем y найденным значением	y1 и полу-
чаем второе приближение
x
y2 (x) = y0 + ∫ f (x,y1)dx.
x0
Приближение n – го порядка будет определяться формулой
x
yn (x) = y0 + ∫ f (x,yn−1)dx.
x0

Таким образом, получается последовательность функций

y1(x), y2 (x),...,yn (x), для которой можно доказать, что при принятых допущениях последовательность {y(x)} сходится к функции y(x), являющейся

решением дифференциального уравнения и удовлетворяющей начальному условию (1.43).

Оценка абсолютной погрешности метода Пикара определяется по фор-

муле

y − y0

≤ N

hn+1

где

(n +1)!

∂f (x,y)

M = max

f (x,y)

N = max

∂y

Величина h вычисляется по формуле

где a и b –

h = min a,

границы прямоугольной области.
Пример. Решить методом Пикара дифференциальное уравнение
	y′ = x2 + y2	(1.46)
с начальным условием	y(0) = 0.	(1.47)

Заметим, что решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.

Переходя к интегральному уравнению																												y = y0 + ∫x (x2 + y2 )dx, с учетом на-
																																		x0
чального условия получим															y = ∫x (x2 + y2 )dx.
																	0
			Поэтому последовательные приближения будут
y	= x		(x2 + y2 )dx				=x	(x2			+ 0)dx = 1x3 ,
1		∫				0	∫									3
		0					0									3
		x		2		2	x				2	x6							x3						x7					1 3						1 4
y2 = ∫(x + y1 )dx																															x	1+						x	,
y2 = ∫(x + y1 )dx							=∫ x +					9		dx =						3		+		63				=		3	x	1+			21			x	,
		0					0					9								3				63						3					21
		x		2		2	x				2	x3						x7			2							x			2			x6				2x10					x14
y3 = ∫(x + y2 )dx							= ∫			x +													dx = ∫
y3 = ∫(x + y2 )dx							= ∫			x +			3		+		63						dx = ∫							x +				9	+			189			+	3969		dx =
		0											3				63											0						9				189				3969
		0					0																					0
	x3			x7		2x11			x15				1		x	3						1		x		4				2		x	4				1			x	12
=		+			+		+					=					1+										+							+								.
=	3	+		63	+	2079	+	59535				=	3				1+				21						+		693					+	19845							.
	3			63		2079		59535					3								21								693						19845

	30
Видно, что при	x ≤1 эти приближения быстро сходятся и позволяют
получить решение с высокой точностью.
Метод Пикара	обобщается на системы уравнений, но на практике с

ростом порядка системы реже удается точно вычислить интегралы, что ограничивает применение этого метода.

1.10.2. Метод Эйлера

Это простейший метод численного решения дифференциальных уравнений, позволяющий получить таблицу дискретных значений искомой функции для заданной последовательности аргументов. Из-за невысокой точности он очень редко применяется в современной практике вычислений, но идеи, положенные в его основу, явились исходными для построения и развития ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y′ = f (x,y) с начальным условием y(x0 ) = y0 . Требуется решить поставленную задачу Коши на промежутке [a, b].

Разбивая отрезок

[a, b] на n

равных частей, получим последователь-

ность x

, x ,...,x

, где

= x

+ kh

k = 0,1,...,n), h =

b − a

- шаг интегриро-

вания.

Интегрируя уравнение

y′ = f (x,y) на

k –ом участке [xk , xk+1], полу-

чим

xk +1

′

∫ f (x,y)dx = ∫y dx =y(x)

= y(xk+1) − y(xk ),

следовательно,

yk+1 = yk + xk∫+1f (x,y)dx.

Если принять на отрезке [xk , xk+1] подынтегральную функцию f (x,y) постоянной и равной значению в начальной точке отрезка x = xk , то

xk∫+1f (xk ,yk )dx =f (xk ,yk )(xk+1 − xk )= hf (xk ,yk y).

Тогда значение yk+1 можно записать в виде

	yk+1 = yk + hf (xk ,yk )
или
	yk+1 = yk + hyk′ .	(1.48)
Полученная рекуррентная формула (1.48) позволяет, зная начальное
значение функции	y(x0 ) = y0 в точке с абсциссой	x0 , последовательно на-
ходить значения функции в точках x0 , x1,...,xn .
Геометрически равенство (1.48) означает, что интегральная кривая на
отрезке [xk , xk+1] заменяется отрезком касательной		к этой кривой в началь-
ной точке отрезка	(xk , yk ].

Пример. Методом Эйлера проинтегрировать рассмотренную выше задачу Коши (1.46), (1.47) на отрезке 0 ≤ x ≤1.

Численные решения, полученные для различных значений р =1;0,5;0,25, приведены в таблице. В последнем столбце таблицы указано решение задачи методом Пикара.

xk		yk		Метод
				Пикара
	h =1	h = 0,5	h = 0,25	Пикара
				y(x)

0,00	0,000	0,000	0,000	0,000

0,25	-	-	0,000	0,005

0,50	-	0,000	0,016	0,042

0,75	-	-	0,078	0,143

1,00	0,000	0,125	0,220	0,350

2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N – го ПОРЯДКА

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

y	(n)		′ ′′	(n−1)	).	(2.1)
		= f (x,y,y ,y , ,y
Общим решением уравнения n-го порядка называется непрерывно
дифференцируемая n раз функция			y(x,C1,C2 , ,Cn ),			удовлетворяющая
уравнению и содержащая n произвольных постоянных						C1,C2 , ,Cn , подхо-

дящим выбором которых можно получить любое решение.

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных C1,C2 , ,Cn , называется частным решением.

Конкретные значения произвольных постоянных могут быть найдены из n начальных или граничных условий, задаваемых, исходя из физических особенностей задачи. Соответственно этому различают начальную задачу (задачу Коши) или краевую (граничную) задачу.

Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется начальной задачей или задачей Коши , если значения искомой функции и её производных до (n-1)-го порядка включительно задаются при одном и том же начальном значении независимой переменной (при x = x0 ):

y(x0 ) = y0 ,

y′(x0 ) = y0′,

y′′(x0 ) = y0′′,

…………………

y(n−1) (x0 ) = y0 (n−1).

Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется краевой (или граничной) задачей, если значения искомой функции (а возможно её производных) задаются не в одной, а в двух точках, а именно на концах фиксированного интервала изменения независимой переменной x.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 305 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015445.14 Кб20Математика_Семестр1_РГР_Матан_1.pdf
#
05.06.2015740.8 Кб14Математика_Семестр1_РГР_Матан_4-6.pdf
#
05.06.2015441.83 Кб15Математика_Семестр1_РГР_Матан_7.pdf
#
05.06.2015322.21 Кб19Математика_Семестр2_РГР_Матан_2.pdf
#
05.06.20151.31 Mб26Математика_Семестр2_РГР_Ряды.pdf
#
05.06.20151.75 Mб157Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.20153.73 Mб492Математика_Семестр4_МетодПособие.pdf
#
27.03.2016264.31 Кб22материаловед.docx
#
08.11.2018217.6 Кб10Машины и оборудование.doc
#
25.04.20195.65 Mб11Менеджмент в строительстве.doc
#
27.03.2016470.02 Кб30Мет.ук.по ДП2.doc