75

Интегрируя эти уравнения, находим варьируемые функции С1(x), C2 (x) и подставляем их в (2.108). Общее решение системы (2.106) запишется в виде

y1 = y10 + y1 ,

y2 = y20 + y2 .

Пример. Решить систему

Общее решение однородной системы, согласно (2.105), имеет вид y10 = C1y11 +C2 y12 = С1 e−2x +C2 e−3x ,

Принимаем частное решение системы (2.111) в виде

Подставляя (2.113) в (2.111), получим после элементарных преобразований

Решение этой системы приводит к дифференциальным уравнениям первого порядка с разделяющимися переменными:

Интегрируя эти уравнения, получим

76

Поэтому

Общее решение системы запишется в виде:

y1 = y10 + y1 = C1e−2 x +C2e−3 x + 23x −187 ,

y2 = y20 + y2 = 2C1 e−2 x +C2 e−3 x + 53x − 89.

2.6. Приближённые аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют получить решение для относительно ограниченного круга задач. Поэтому в научных и инженерных расчётах широко используются приближённые методы. Их можно разделить на два класса: приближённые аналитические и численные методы. При использовании аналитических методов решения получаются в виде приближённых формул. В численных методах результаты представляются таблицей чисел. Из численных методов широко используются шаговые методы типа Рунге-Кутта, методы конечных разностей, метод конечных элементов и многие другие [16-19]. В настоящем пособии рассмотрены наиболее распространенные приближённые аналитические методы решения краевых задач: метод степенных рядов, Бубнова [20], наименьших квадратов, коллокаций. Метод степенных рядов является приближённым, но позволяет получить результат с любой степенью точности. Этот метод обсуждён отдельно выше (см. 2.4.2 - 2.4.4).

Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения

с граничными условиями

Будем искать решение задачи в виде

77

i=1

где Ci - постоянные, подлежащие определению; U0 (x), U1(x),..., U n (x)- подбираемые функции, которые должны удовлетворять следующим требованиям:

Если граничные условия (2.116) однородны, то решение достаточно искать в виде

n

y(x) = ∑CiUi (x).

i=1

4.Функции Ui (x) (называемые обычно координатными или аппрокси-

мирующими) в совокупности должны качественно правильно отражать физический процесс, описываемый дифференциальным уравнением. Предположим, что функции Ui (x) (i= 0,1,2,...,n) подобраны. Необхо-

димо найти константы Ci так, чтобы искомая функция y(x) была близка на [a,b] к точному решению краевой задачи. Для этого пе репишем уравнение

Если в левую часть уравнения (2.118) подставить точное решение уравнения (2.114), то она будет тождественно равна нулю. Но если вместо точного решения подставить приближённое решение (2.116), то в левой части уравнения (2.118) получим некоторую функцию r(x,Ci ) ≠ 0 на (a,b), i=1,2,...,n. Эта функция называется невязкой и может рассматриваться как некоторая мера ошибки.

78

В приближённых методах решения краевой задачи (2.114), (2.115) константы Ci (i = 1,2,...,n) подбираются так, чтобы невязка оказалась в том или ином смысле малой. Различные приближённые методы отличаются тем, что в каждом из них устанавливается свой критерий малости невязки. Общим для рассматриваемых методов явля ется то, что их применение приводит к системе алгебраических уравнений относительно Ci :

ϕi (C1,C2 , ,Cn ) = 0, i =1,2, , n . (2.119)

Если система (2.119) совместна, то найденные константы C1,C2 , , Cn после подстановки в (2.116) определяют приближённое решение y(x) краевой задачи (2.114), (2.115). Чем больше число координатных функций в решении (2.116), тем точнее может быть приближённое решение задачи. Однако с ростом n существенно возрастает трудоёмкость вычислений.

2.6.1.Метод Бубнова

Вэтом методе за условие минимума невязки r(x,C1,C2 , , Cn ) принимается ортогональность невязки к координатным функциям Ui (x), i = 1,2,..,n

на промежутке [a,b].

Как известно, две функции ϕ1(x), ϕ2 (x) называются ортогональны-

ми на промежутке [a,b] , если

b

∫ϕ1(x)ϕ2 (x)dx = 0.

a

Составляя условие ортогональности для невязки, получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов C1,C2 , ,Cn иско-

мого решения (2.116):

Соотношению (2.120) можно придать простой механический смысл. Например, в задаче об изгибе балки дифференциальное уравнение упругой линии можно записать в виде EIyIV + q = 0 , где у(x) - прогиб в произвольном сечении балки, q – интенсивность внешней распределённой нагрузки. В левой части этого уравнения стоит сумма проекций всех сил, приложенных к элементу балки, на вертикальную ось. Если выбрать прогиб y(x) в

79

форме (2.116) и составить систему (2.120), то каждое уравнение этой системы можно трактовать как равенство нулю работы всех сил на возможных перемещениях Ui (x), то есть как общее условие равновесия механической системы.

2.6.2. Метод наименьших квадратов

При решении краевой задачи (2.114), (2.115) методом наименьших квадратов искомая функция y(x) отыскивается в том же виде (2.116) с теми же требованиями к подбираемым координатным функциям Ui (x),

называемая интегральной квадратичной ошибкой аппроксимации решения.

Условие минимума функции S, как функции многих переменных, приводит к системе

из которой и определяются постоянные C1,C2 , ,Cn .

2.6.3.Метод коллокаций

Вметоде коллокаций неизвестные параметры C1,C2 , ,Cn определяются из условия, чтобы невязка r(x,C1,C2 , ,Cn ) обращалась в нуль в n

внутренних точках a < x1 < x2 < x3 < < xn < b промежутка [a,b]. Эти то ч- ки, в которых дифференциальное уравнение задачи точно удовлетворяется, называются точками коллокации. В ре зультате получаем систему уравнений вида

решая которую, находим коэффициенты Ci (i = 1,2,...,n). Заметим, что точки коллокации могут быть выбраны, вообще говоря, произвольно, но их выбор существенно влияет на точность решения задачи.