80

В качестве примера рассмотрим решение вышеизложенными методами задачи отыскания прогибов шарнирно опёртой балки постоянного поперечного сечения, нагруженной равномерно распределённой поперечной нагрузкой интенсивности q (см. рисунок 2).

Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде

Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.125).

Подставляя (2.126) в уравнение (2.124), получим невязку

Решение методом Бубнова

Из условия ортогональности невязки (2.127) к выбранным координатным функциям согласно (2.120) следует

ymax = y(l / 2) = −0,01301 ql 4 .

EI

Точное значение максимального прогиба (с точностью до четырех значащих цифр) равно

Как видим, ошибка, полученная при решении методом Бубнова в двучленном приближении, составляет сотые доли процента.

Решение методом наименьших квадратов

Решение по-прежнему отыскиваем в форме (2.126). Интегральная квадратичная ошибка согласно (2.121) будет равна

решение которой дает те же значения постоянных C1 и C2 , что и в методе Бубнова:

Поэтому результаты решения краевой задачи (2.124), (2.125) методами Бубнова и наименьших квадратов полностью совпадают.

Решение методом коллокаций

Сравнение с точным решением (2.128) показывает, что ошибка, полученная при использовании метода коллокаций, составляет примерно 9% .

83

3. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.

3.1. Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа называется преобразование, которое ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F(p) комплексной переменной p по формуле

Несобственный интеграл в правой части формулы (3.1), зависящий от комплексного параметра p, называется интегралом Лапласа.

Интеграл сходится и действительно определяет собой некоторую функцию F(p), если подынтегральная функция f(t) удовлетворяет следующим условиям:

1.f(t) - кусочно - непрерывная функция;

2.f(t) = 0 при t < 0;

3.f(t) по абсолютной величине возрастает не быстрее заранее выбранной показательной функции, то есть можно найти такие постоянные M и α , что

f (t) < M eα t .

Число α называется показателем роста функции f(t).

Функция f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющая перечисленным выше трем условиям, называется оригиналом , а функция F(p) комплексного аргумента p, определяемая согласно ( 3.1), называется изобра-

84

Совокупность всех оригиналов f(t) называется пространством оригиналов, а совокупность всех изображений F(p) – пространством изображений.

Изображения простейших функций

1. Пусть оригинал имеет вид:

Эта функция широко применяется в приложениях и называется единичной функцией или функцией Хевисайда.

Изображение этой функции найдем, вычисляя интеграл Лапласа (3.1):

Нахождение изображений непосредственно по формуле (3.1) обычно затруднительно. Во многих случаях изображения по Лапласу могут быть найдены значительно проще, если воспользоваться свойствами преобразования Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа

Для практического применения преобразования Лапласа необходимо знать не только изображения отдельных функций, но и правила отображения выполняемых над ними операций. Эти правила формулируются в виде многочисленных теорем, объединяемых общим названием "свойства преобразования Лапласа". Рассмотрим некоторые основные из них.