8.11.10 Розрахунок безшарнірної арки

Безшарнірні арки є тричі статично невизначеною системою. При розрахунку арки методом сил за основну систему можна прийняти кривий брус, защемлений одним кінцем, або розрізати арку посередині прогону; при цьому невідомі можна перенести у пружний центр. Позначивши невідомі через x, y, z, отримаємо канонічні рівняння, що будуть мати вигляд:

, (8.219)

, (8.220)

. (8.221)

де , , – переміщення розглянутого перерізу арки від зовнішніх навантажень; , …, – переміщення тих же перерізів від однієї з сил в напрямку іншої.

Канонічні рівняння показують, що в місці розрізу в основній системі горизонтальне і вертикальне переміщення, а також кут повороту під дією сил q, х, у і z дорівнюють нулю.

Якщо прийняти основну систему при розрахунку згідно рис. 8.34, в переміщення , , , і будуть дорівнювати нулю.

Рівняння у цьому випадку спрощуються:

; (8.222)

. (8.223)

або, позначивши ; ; ; ; ; ; ; , отримаємо:

. (8.224)

. (8.225)

При основній системі (рис. 8.34, в) в параболічній пологій арці:

– переміщення

. (8.226)

; , (8.227)

– переміщення ; (8.228)

де – відрізок товщини дуги; І – момент інерції в довільному перерізі; ­ – момент інерції перерізу арки в ключі.

Якщо рахувати і , то

. (8.229)

. (8.230)

де – кут між дотичною до кривої і горизонталлю.

Переміщення

. (8.231)

Враховуючи рівняння параболи , отримаємо

. (8.232)

Якщо прийняти навантаження у п’яті

, (8.233)

І при і .

Отримаємо .(8.234)

де – навантаження в ключі арки.

Нормальна сила в любому перерізі арки

. (8.235)

, (8.236)

де х – віддаль від середини арки до перерізу, що розглядається; –кут нахилу перерізу до горизонту. При ; ; ; при .

Вид епюр згинальних моментів і нормальних сил в арці від вертикального навантаження показано на рис. 8.35.

а – від вертикального навантаження; б – від зміни температури чи внутрішнього тиску

Рисунок 8.35 – Епюри згинальних моментів і нормальних сил в безшарнірній арці

Зусилля, що виникають в арці від зміни температури також можна отримати, розв’язуючи канонічні рівняння для основної системи:

(8.237)

. (8.238)

, (8.239)

де – коефіцієнт лінійного розширення (для сталі ); – прогін арки; – розрахунковий перепад температури; і – переміщення, що визначається за формулами

.(8.240) (8.241)

. (8.242)

Підставивши значення переміщень в рівняння:

. (8.243)

(8.244)

Розв’язуючи систему рівнянь, знайдемо:

. (8.245)

. (8.246)

Згинальні моменти в перерізі на віддалі х від опори будуть:

. (8.247)

. (8.248)

Нормальна сила в перерізі х

. (8.249)

при ; ; .

Від внутрішнього тиску трубопровід видовжується. Відносна деформація трубопроводу при підвищенні тиску

, (8.250)

де – кільцеві напруження у стінках труб від внутрішнього тиску.

Відповідно для визначення і у формулах потрібно замість підставити величину .

Від рівномірного нагрівання арки-трубопроводу або підвищення у трубопроводі внутрішнього тиску епюри згинальних моментів і нормальних сил будуть мати вид, показаний на рис.8.35,б.

Напруження в арці визначаються за формулою:

. (8.251)

Для розрахунку арок, у яких момент інерції перерізу відповідає закону (що набагато спрощує формули і при пологих арках не вносить суттєвої похибки), є готові формули для різних видів навантаження.

Перевірку стійкості безшарнірної арки в її площині можна наближено виконувати, визначаючи критичну силу за формулою:

, (8.252)

де – довжина дуги арки.

Стійкість із площини одиничних кругових арок із защемленими п’ятами можна перевірити за формулою

, (8.253)

а – половина центрального кута арки (між п’ятами ); – відношення жорсткості при згині ( ) і жорсткості при крученні ( ); – коефіцієнт.

.

Значення у цьому випадку виходить менше, ніж при втраті стійкості у площині арки (при ); при ( ), тому для одиночних арок небезпечна втрата стійкості перпендикулярно площині їх згину.

На вітрове навантаження одноаркові переходи перевіряють, якщо вони мають відносно велику стрілу (при ) піднімання арок. Для полегшення розрахунків розподілене по довжині арки навантаження можна приймати як прикладне в ключі зосереджене, що дорівнює по величині 2/3 всього вітрового навантаження, що сприймається аркою.

Аркові переходи, що перекривають великі прогони, складаються із декількох арок. Якщо всі арки поставлені поряд і мають одинакові стріли, то збільшується тільки поперечна жорсткість переходу і перевірка стійкості арок у площині їх згину обов’язкова.

На вітрове навантаження такі прогони розраховують як балки типу Віранделя (при наявності лише розпорок) або як ферми (коли є розкоси).

Якщо відношення менше , то розрахунок можна вести як балки із защемленими кінцями (або ферми) довжиною, що дорівнює довжині арки . Для поясів ферми, тобто арок, вітрове навантаження входить в додаткове поєднання навантажень з коефіцієнтом 0,9.

Зусилля від вітрового навантаження у поясах біля линв

(8.254)

і в ключі

, (8.255)

де , – віддаль між вісями крайніх арок у пліті і в ключі.

Сумарні напруження в арках складаються з напружень, що виникають від вертикального і вітрового навантаження

, (8.256)

де , – напруження від розрахункових і вітрових навантажень; – розрахунковий опір матеріалу труб.

При розрахунку найпростіших аркових переходів без спеціальних опор слід розрахувати п’яти пружнозащемленими. В формулах для розпору, нормальних сил і згинальних моментів наближено можна приймати значення цифрових коефіцієнтів середніми між коефіцієнтами двошарнірної і безшарнірної арки.