Раздел III

Эконометрическая динамика.

Эконометрические модели динамики

Основные понятия эконометрической динамики

Как правило, все социально-экономические явления, процессы и работа эко-номических систем происходит во времени. Экономико-математические модели, в том числе и эконометрическая модель, строится с учетом временного фактора, то есть на базе динамических (временных) рядов.

Временным рядом называется зависимость выходных параметров системы (процессов, явлений) от факторных значений, в качестве которых выступает вре-мя.

Экономические показатели системы описываются траекторией, как функцией времени

Q=Q(t),

где:

t [0;T].

Более сложные системы описываются функционалом:

Q(t)=Q(q₁(t), q₂(t), …, q_n(t))

то есть совокупностью сложных функций.

Уровни динамического ряда могут характеризоваться:

- абсолютным приростом

δ_1/0=Q₁-Q₀;

- темпом роста

η_1/0= ;

- темпом прироста

.

Сглаживание динамических рядов. Составляющие компоненты

При изучении динамических рядов существует несколько подходов:

1) аддитивный, когда все составляющие динамического ряда складываются:

Q(t)=T+S+C+ξ_t,

где:

T – основная составляющая ряда (тренд);

S – сезонная составляющая;

C – цикличная составляющая;

ξ_t – случайная составляющая;

2) мультипликативный подход, все составляющие перемножаются

Q(t)=T∙S∙C∙ξ_t;

3) комплексный подход

Q(t)=T∙S∙C+ξ_t;

4) динамический ряд Q(t) выглядит как сумма функций и случайной состав-ляющей

Q(t)=f(t)+ξ_t;

Одной из самых важных задач при исследовании динамических рядов являет-ся задача проверки гипотезы наличия тренда. Это выполняется таким упрощен-ным подходом, когда динамический ряд делится на две части и проверяются дис-персии обеих частей динамического ряда, например, критерием Фишера. По ра-венству или не равенству этих дисперсий судят о наличии и величине тренда. При наличии тренда необходимо подобрать такую функцию, которая более близ-ко (то есть наиболее адекватна) описывала бы эмпирический материал. Кроме названного аналитического сглаживания для оценки величины тренда применя-ется сглаживание рядов с помощью средней скользящей. Второй способ – увели-чение интервалов. Данные подходы позволяют только выявить тренд, его нали-чие, но определить обобщенную статистическую характеристику невозможно, по-этому при построении эконометрической модели применяется сглаживание с по-мощью аналитической функции Фурье с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Ряд Фурье и его использование в сглаживании и прогнозировании

При наличии периодических (сезонных) колебаний в ряду динамики модель прогноза должна учитывать эти колебания. С этой целью может быть использо-ван ряд Фурье. Чтобы понять его содержание, обратимся к графику временного ряда с периодическими колебаниями (см. рис. 4).

Рис. 4 – Периодический временной ряд

Уровни динамического ряда варьируют вокруг среднего значения ( ), при этом эти колебания (волны) повторяются, т.е. перед нами периодический времен-ной ряд. Интервал времени, необходимый для того, чтобы динамический ряд на-чал повторяться, называется периодом и обозначен на графике Р. Его величина (расстояние между пиками или впадинами) на рис. 4 составляет 10 месяцев (12-2). Если ряд имеет период Р, то он, как правило, имеет также период 2Р, 3Р и т.п. В общем случае для периодического временного ряда справедливо равенст-во:

y_t=y_t+c,

где:

с=1, 2, ….

Величина, обратная периоду, называется частотой динамического ряда (f).

f=1/p.

Частота указывает число повторений цикла в единицу времени: f=1/10 в ме-сяц (по рис. 4).

Отклонение от среднего уровня до пика (или впадины) называется амплиту-дой временного ряда (А).

Расстояние между началом отсчета времени (точкой, в которой t=0) и ближай-шим пиковым значением называется фазой (Ф).

Стационарный периодический временной ряд, представленный на рис. 4, можно задать четырьмя параметрами: периодом (Р) или частотой (f), амплитудой (А), фазой (Ф) и средним значением ( ). Поэтому стационарный периодический временной ряд можно записать в виде выражения:

которое называется гармоническим представлением. В этом выражении ω – угловая частота, измеряемая в радианах в единицу времени и равна ω=2πf; 0≤ω≤2π; θ-фаза. Данное выражение часто записывают через синусы и косинусы без упоминания о фазе:

y_t=

где:

а=Acosθ и b=Asinθ.

Так как существует тригонометрическое тождество:

cos²x+sin²x=1,

то a²+b²=A², т.е. существует взаимосвязь между амплитудой колебаний и пара-метрами гармоники.

Кроме того, учитывая, что tgx=sinx/cosx, поделив параметры b на а, получим:

т.е. фаза периодического ряда связана также с параметрами гармонического представления a и b.

Теоретически любой стационарный временной ряд может быть пред-ставлен как сумма среднего значения и ряда синусоид и косинусоид, что и называется рядом Фурье:

Для этого ряда также справедливо равенство:

A²_i=a²_i+b²_i;; i=1, 2, …

Аналогично:

Анализируемые ряды динамики обычно имеют конечную длину N. Если интер-валы наблюдений представляют собой постоянную величину, например месяц, то самый медленный, т.е. самый большой, период косиносоидальной кривой ра-вен N месяцам, что соответствует угловой частоте 2π/N. Наименьший период этой кривой составляет два месяца (f=1/2), так как необходимы по крайней мере два месяца, чтобы кривая завершила цикл. Предположим, что N – четное число, т.е. N=2n.

Угловая частота i-й составляющей равна: ω_i=2πi/N, где i=1, 2,…, n. Если i=1, то ω₁=2π/N, что соответствует самой медленной волне, которую можно наблю-дать. При i=n ω_n=2π n/N=π, что соответствует самой быстрой волне, которую можно наблюдать.

Так как ряд динамики имеет конечную длину N, то ряд Фурье приобретает вид:

где:

n=N/2 (N – длина временного ряда).

При этом заменяется часто параметром а₀, т.е. в окончательном виде име-ем:

Оценка параметров данного уравнения при компьютерной обработке обычно дается традиционным МНК, который приводит к системе нормальных уравнений. Покажем это для случая одной гармоники:

y_t=a₀+a₁cost+b₁sint,

где:

t принимает значение от 0 с постоянным увеличением на 2π/ N.

Система нормальных уравнений будет следующей:

В этой системе ∑cost=∑sint=0

Соответственно из первого уравнения системы получаем, что а₀=∑y_t/N= . Ввиду того что ∑sint cost=0 (см. табл. 3.1) из второго уравнения системы получа-ем оценку параметра а₁:

Аналогично из третьего уравнения системы вытекает, что

Так как

то

Соответственно можно показать, что

Следователь-но, a₁=2Σy cost/N и b₁=2Σy sint /N.

Соответственно при определении второй гармоники рассчитываются a₂ и b₂:

.

Иными словами, параметры ряда Фурье определяются следующим образом:

Часто хорошее описание фактического временного ряда достигается с ис-пользованием двух и более гармоник (К≥2):

y_t=a₀+a₁cost+b₁sint +a₂cos2t+b₂sin2t.

Рассмотрим построение ряда Фурье на следующем примере.

Пример. Производство товара М по месяцам характеризуется следующими данными (табл. 3.1).

Таблица 3.1

(ед.)

Номер месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	22	24	23	14	6	5	6	8	15	17
Номер месяца	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
yt	24	15	24	18	8	5	9	4	19	23

Графическое представление этого временного ряда дано на рис. 5.

Перед нами стационарный динамический ряд, для которого

Рис. 5 – Периодический ряд динамики производства товара М

Расчеты для определения параметров ряда Фурье представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2