Лабораторная работа № 1

Тема: Простая эконометрическая модель с двумя переменными.

Среднесрочное прогнозирование

Цель работы: По представленным статистическим данным постро-ить (синтезировать) эконометрическую модель.

Выбрать наилучшую, оценить достоверность модели и ее параметров. Спрогнозировать развитие процесса на 3 года. Научиться использовать возможности Excel для решения подобных задач.

Задание на основании данных объема розничного товарооборота Черниговс-кого региона по годам (см. варианты заданий для лабораторных работ № 1). ТРЕБУЕТСЯ:

1. На первом этапе (этапе аппроксимации данных) построить эконометричес-кую модель. Подобрать, с этой целью, по предложенной методике и критерию на-иболее адекватную модель.

2. На втором этапе (этапе прогнозирования) для выбранной модели опреде-лить точечные и интервальные оценки прогноза, построить график, сделать вы-воды.

Порядок выполнения работы

Для предварительного выбора возможного варианта математической зависи-мости (спецификации) синтезированной модели, определим на основании дан-ных задания абсолютный прирост, коэффициент роста и коэффициент прироста и сведем все в табл. 1.1.

Таблица 1.1

		Абсолютный прирост		Коэффициент роста		Коэффициент прироста
Год	Товарооборот в млн. грн.	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
2001	61,6	0	0	0	0	0	0
2002	62,1	0,50	0,5	100,81	100,81	0,81	0,81
2003	63	101,45	0,9	101,45	102,27	1,45	2,27
2004	63,6	100,95	0,6	100,95	103,25	0,95	3,25
2005	64,3	101,10	0,7	101,10	104,38	1,10	4,38

Для наглядности можно представить эти коэффициенты графически. Однако ярко выраженной тенденции изменения или постоянства этих параметров в дан-ной задаче не выявлено. Поэтому рассчитаем с помощью метода 1 МНК коэффи-циенты для нескольких моделей, а именно линейной, параболической и показа-тельной. А затем выберем из них наилучшую. Чтобы упростить формулы расчета коэффициентов а₀, а₁, а₂ введено условное обозначение времени, но таким обра-зом, что бы общая сумма была равна нулю (Σt=0).

Таблица 1.2

Год	2001	2002	2003	2004	2005
t	-2	-1	0	1	2

Для наиболее широко используемых выравнивающих аналитических функций, а именно:

• уравнения прямолинейной функции

  yt=a0+a1t;

  (1.27)

• уравнения параболы второго порядка

  yt=a0+a1t+a2t2;

  (1.28)

• уравнения показательной функции

yt=a0·a1t.

(1.29)

С учетом способа условного отсчета времени, для математических функций (1.27-1.29) выражения для а₀, а₁, а₂ проще определяются по формулам:

- для функции (1.27)

(1.30)

(1.31)

- для функции (1.28)

(1.32)

(1.33)

(1.34)

- для функции (1.29)

(1.35)

(1.36)

Чтобы облегчить расчет параметров а₀, а_1, а₂ по формулам (1.30-1.36) необхо-димо составить табл. 1.3. промежуточных расчетов

Таблица 1.3

Год	ti						lg yi	ti lg y i
2001	-2	4	16	61,6	-123,2	246,4	1,79	-3,58
2002	-1	1	1	62,1	-62,1	62,1	1,79	-1,79
2003	0	0	0	63	0	0	1,80	0,00
2004	1	1	1	63,6	63,6	63,6	1,80	1,80
2005	2	4	16	64,3	128,6	257,2	1,81	3,62
Σ	Σti=0	Σt2i=10	Σt4i=34	Σyi=314,6	Σtiyi=6,9	Σt2iyi =629,3	Σlgyi=8,99	Σtilgyi=0,05

P.S. Логарифмы параметров а₀, а₁ для функции (1.29) можно определить с по-мощью компьютера или инженерного калькулятора.

На основании данных табл. 1.3. рассчитываем параметры â₀ и â₁

â₀=

â₁= ,

а далее синтезируем линейную эконометрическую модель:

уt=62,92+0,69t.

Определяем теоретические уровни товарооборота, которые нужны будут для расчета остаточной дисперсии, а так же расчета прогнозных значений

у(2001)=62,92+0,69(-2)=	61,54	у(2005)=62,92+0,69*2=	64,3
у(2002)=62,92+0,69(-1)=	62,23	у(2006)=62,92+0,69*3=	64,99
у(2003)=62,92+0,69*0=	62,92	у(2007)=62,92+0,69*4=	65,68
у(2004)=62,92+0,69*1=	63,61	у(2008)=62,92+0,69*5=	66,37

Аналогично проведем расчеты по определению параметров а₀, а₁, а₂, а также расчеты теоретических уровней для параболической и показательной моделей.

а) для параболической

На основании вычисленных параметров а₀, а₁, а₂, синтезируем параболичес-кую модель второго порядка

yt=62,91+0,69t+0,01t2.

Определяем теоретические уровни товарооборота по исследуемым годам, а также прогнозные уровни.

у(2001)=61,55	у(2005)=64,31
у(2002)=62,22	у(2006)=65,04
у(2003)=62,31	у(2007)=65,78
у(2004)=63,60	у(2008)=66,53

Определим параметры а₀, а₁ для показательной модели.

а₀=62,91;

а₁=1,01.

Синтезируем показательную модель

yt=62,91∙1,01t.

Определим на основании данной модели теоретические уровни тренда

у(2001)=61,55	у(2005)=64,31
у(2002)=62,23	у(2006)=65,02
у(2003)=62,41	у(2007)=65,73
у(2004)=63,41	у(2008)=66,46

Полученные прогнозные дискретные значения у_t для трех моделей предвари-тельно занесем в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Модель
Год	Линейная	Параболическая	Показательная
2006	64,99	65,04	65,02
2007	65,68	65,78	65,73
2008	66,37	66,53	66,46

Из простого анализа видно, что модели 1, 2, 3, по результатам очень близки. Для решения вопроса, какая из моделей наиболее адекватна для аппроксимации и экстрополяции определим стандартные ошибки аппроксимации по формуле

(1.37)

где:

y_ti – расчетные, теоретические значения результативного признака;

у_і – фактические значения результативного признака.

Таблица 1.5

а) для линейной функции

yi	yti	yti–yi	(yti–yi)2
61,6	61,54	0,06	0,0036
62,1	62,23	0,13	0,0169
63	62,92	0,08	0,0064
63,6	63,61	0,01	0,0001
64,3	64,3	0,00	0,0
314,6	314,6	0,00	0,027

б) для параболической функции

yi	yti	yti–yi	(yti–yi)2
61,6	61,55	-0,05	0,00205
62,1	62,22	0,12	0,0144
63	62,91	-0,09	0,0084
63,6	63,60	0,00	0,00
64,3	64,31	0,01	0,0001
314,6	314,60	0,00	0,03

в) для показательной функции

yi	yti	yti–yi	(yti–yi)2
61,6	61,55	-0,05	0,0025
62,1	62,23	0,13	0,0169
63	62,91	-0,09	0,0081
63,6	63,61	0,01	0,0001
64,3	64,31	0,01	0,0001
314,6	314,60	0,00	0,03

По критерию минимума стандартной ошибки аппроксимации из трех синтези-рованных моделей выбираем параболическую функцию второго порядка.

Проверим выбранную синтезированную эконометрическую модель на надеж-ность по критерию Фишера по формуле

(1.38)

Для этого составим вспомогательную табл. 1.8.

Таблица 1.8

yi	усi→уti	(yti–yср)2	(yti–yi)2
61,6	62,92	1,7424	0,002
62,1	62,92	0,6724	0,015
63	62,92	0,0064	0,009
63,6	62,92	0,4624	0,000
64,3	62,90	1,9044	0,000
314,6	314,6	4,788	0,026

Расчет показывает, что F_расч=91,076, а это значительно больше, чем F_таб. Зна-чит синтезированная модель, парабола второго порядка, является адекватной, надежной моделью.

На втором этапе расчетной работы необходимо выполнить прогнозирование (экстрополирование) на ближайшие три года. Для этого необходимо найти точеч-ные и интервальные значения прогнозируемого параметра, т.е.

(1.39)

где:

∆ – есть полуширина доверительного интервала для заданного уровня дове-рия – α и вероятности прогнозирования р=1-α по которым выбирается ко-эффициент Стьюдента – t (t_α=4,3)

(1.40)

∆₁=1,163; ∆₂=1,551; ∆₃=2,049.

ПРИМЕЧАНИЕ: (к формуле 1.40)

В связи с тем, что для упрощения формул расчета коэффициентов а₀, а₁, а_2, вместо факторного признака х мы ввели t с моментом отсчета (Σt=0), в формулу 1.40 следует подставлять:

(для t₃=3); (для t₄=4); (для t₅=5).

Сведем все расчетные данные прогноза в табл. 1.9

Таблица 1.9

Год	Точечные значения yti млн.грн	Интервальные значения Ув,н
2006	65,04	66,2	Верхний
		63,88	Нижний
2007	65,78	67,33	Верхний
		64,23	Нижний
2008	66,53	68,58	Верхний
		64,48	Нижний

На основе расчетных данных табл. 1.9 построим график эконометрической модели с доверительным интервалом (рис. 1).

Выводы:

По результатам выполненной работы студент делает выводы с математичес-ким и экономическим обоснованием результатов расчетов.