Раздел I

Простая (с двумя переменными) эконометрическая модель.

Парная регрессия и корреляция

Методические указания

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х:

где: у – зависимая переменная (результативный признак);

х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия:

(1.1)

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные отно-сительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оце-ниваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней

  (1.2)

• равносторонняя гипербола

(1.3)

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная

  (1.4)

• показательная

  (1.5)

• экспоненциальная

(1.6)

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оцен-ки параметров регрессий, линейных по параметрам используют метод наимень-ших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических у_х минимальна, т.е.

(1.7)

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и b:

(1.8)

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой сис-темы:

(1.9)

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r_ху для линейной регрессии (–1≤r_ху≤1):

(1.10)

и индекс корреляции р_ху – для нелинейной регрессии (0≤р_ху≤1):

(1.11)

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детермина-ции, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

(1.12)

Допустимый предел значений – не более 8-10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

(1.13)

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой пе-ременной:

(1.14)

где:

– общая сумма квадратов;

– сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

– остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результатив-ного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:

(1.15)

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреля-ции.

F-mecm – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке ги-потезы Н_о о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и крити-ческого (табличного) F_табл значений F – критерия Фишера. F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

(1.16)

где:

n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случай-ных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а. Уровень зна-чимости а – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл<F_факт, то Н_о – гипотеза о случайной природе оцениваемых характе-ристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Ес-ли F_табл>F_факт, то гипотеза Н_о не отклоняется и признается статистическая незна-чимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и кор-реляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н_о о случайной природе показате-лей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем со-поставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корре-ляции определяются по формулам:

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - t_та6л и t_факт – принимаем или отвергаем гипотезу Н_о.

Связь между F- критерием Фишера и t- статистикой Стьюдента выражается равенством

(1.20)

Если t_та6л<t_факт, то Н_о отклоняется, т.е. a, b и r_ху не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t_та6л>t_факт, то гипотеза Н_о не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или r_ху.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

(1.21)

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

(1.22)

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя гран-ица отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принима-ется нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение у_р определяется путем подстановки в уравнение регрес-сии соответствующего (прогнозного) значения х_р. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :

(1.23)

где:

(1.24)

и строится доверительный интервал прогноза:

(1.25)

где:

(1.26)