Четыре периодические составляющие динамического ряда производства продукции м

Номер гармоники – К	Гармоническая функция
1	0,6667 cost – 1,7948 sint
2	9,2883 cos2t – 2,6577 sin2t
3	–0,2698 cos3t – 1,0568 sin3t
4	–1,6753 cos 4t + 1,1274 sin4t

Ряд Фурье с одной гармоникой тогда будет иметь вид:

y_t=15,45+0,6667 cost – 1,7948 sint

с четырьмя гармониками:

y_t=15,45+0,6667 cost – 1,7948 sint + 9,2883 cos 2t – 2,6577 sin2t –

– 0,2698 cos3t – 1,0568 sin3t – 1,6753 cos4t + 1,1274 sin4t

Далее проводится выбор того ряда Фурье, который наилучшим образом отра-жает исходный временной ряд. Для этой цели определяются теоретические (рас-четные) значения по ряду Фурье ( ), а также отклонения фактических данных от расчетных . Поскольку сумма таких отклонений может быть равна ну-лю, то определяется сумма квадратов отклонений. По минимуму этого значения выбираем наилучшее гармоническое представление. Этой же цели служит и рас-чет коэффициентов детерминации для уравнений с разным числом гармоник (см. табл. 3.4).

Таблица 3.4

Остаточная дисперсия и коэффициент детерминации по уравнениям с разным числом гармоник

Число гармоник	Остаточная дисперсия	Коэффициент детерминации
1	50,315	0,0351
2	3,646	0,930
3	3,046	0,942
4	1,256	0,976

Таблица 3.4 показывает, что уже уравнение с двумя гармониками хорошо опи-сывает динамический ряд, объясняя 93% вариации уровней. Остаточная диспер-сия определяется как S²=Σ(y_t– )²/n, а коэффициент детерминации R²=1–S²/σ².

Как видно из рис. 5. для рассматриваемого временного ряда амплитуда коле-баний (А) приближается к 10, что и имеет место для уравнения с двумя гармони-ками:

Для второй гармоники величина периода, через который ряд начинает повто-ряться, равен 10 месяцам, что соответствует графику на рис. 6б. При использова-нии же только одной гармоники период повторения составит 20 месяцев, и, ес-тественно, выровненный динамический ряд плохо аппроксимирует исходные дан-ные (см. рис. 6а).

Для прогноза в нашем примере можно использовать ряд Фурье с двумя гар-мониками. С этой целью в уравнение с двумя гармониками подставляется следу-ющее по порядку значения t. Так, в нашем примере для прогноза на 21-й месяц t составит 2π:

cos2π=+1, sin2π=0, cos2t=cos 4π=+1, sin4π=0

Соответственно прогноз окажется равным:

y_p=15,45+0,6667 cos2π – 1,7948 sin 2π + 9,2883 cos4π – 2,6577 sin4π=

=15,45 + 0,6667·1 + 9,2883·1=25,4,≈25 единиц.

Поскольку в экономике чаще всего периодический ряд имеет тенденцию (рис. 7), то временной ряд не является стационарным.

В этом случае ряд Фурье применим, если привести его к стационарному виду. Для цели можно найти линейный тренд ( =a+bt) и применить ряд Фурье к оста-точным величинам (y_t– ). Возможен и другой подход: для ряда Фурье использу-ются первые разности, т.е. ∆y_t=y_t-y_t-1, что равносильно учету линейного тренда.

Рис. 6а – Ряд с одной гармоникой

Рис. 6б – Ряд с двумя гармониками

Рис. 7 – Периодический нестационарный временной ряд, имеющий тенденцию

Если временной ряд обладает линейным трендом и периодическими колеба-ниями, то строится суммарный прогноз, т.е. прогноз по тренду и плюс прогноз по ряду Фурье для остаточных величин.

Предположим, что для 12 месяцев года спрос на товар М характеризовался трендом:

=25+6t,

где:

t=1, 2, …, 12.

Отклонения от тренда представлены в виде ряда Фурье:

l_t=0,5 cost + 1,2 sint – 0,9 cos2t – 2 sin2t – 1,8 cos3t + 0,8 sin3t.

При его определении t принимало значение 0; π/6; π/3; … 5π/3; 11π/6. Прогноз на январь следующего года составит:

а) по тренду:

у_р=25+6·13=103;

б) для остаточных величин:

l_p=0,5 cos2π + 1,2 sin2π – 0,9 cos4π - 2 sin4π – 1,8 cos6π + 0,8 sin6π = –2,2;

в) в целом:

103-2,2=100,8.

Ряд Фурье может использоваться для отображения и прогнозирования дина-мики с сезонными колебаниями. При этом N принимают обычно равным 12, т.е. числу месяцев в году. В месте с тем сезонные колебания (внутригодичные) и их учет в прогнозе могут изучаться и с помощью иных подходов, к рассмотрению ко-торых мы и переходим.