§3. Пряма сума підпросторів.

Означення. Сума U=U₁+U₂+…+U_m лінійних підпросторів U₁,U₂,…,U_m простору V називається прямою сумою цих підпросторів, якщо для довільного вектора u є U існує тільки одне представлення виду

u=u₁+u₂+…+u_m, де u_i є U_i, i=1,…,m.

Якщо U – пряма сума підпросторів U₁,U₂,…,U_m, то записують U=U₁U₂…U_m або U=U₁+U₂+…+U_m.

Теорема 5. Сума U=U₁+U₂+…+U_m підпросторів лінійного простору V є прямою сумою тоді і тільки тоді, коли перетин кожного підпростору U_i (i=1,…,m) з сумою всіх інших підпросторів складається лише з нульового вектора.

Теорема 6. Розмірність прямої суми U=U₁U₂…U_m дорівнює сумі розмірностей доданків (підпросторів).

dim(U₁U₂…U_m)=dimU₁+dimU₂+…+dimU_m

Розділ 5. Евклідові простори. §1. Скалярний добуток та евклідові простори.

Означення. В дійсному векторному просторі V_n визначена операція скалярного множення, якщо кожній парі векторів a,b є V_n ставиться у відповідність єдине дійсне число, яке називається скалярним добутком векторів a,b і познaчається символом (a,b), причому виконуються аксіоми скалярного добутку:

1. a,b є V_n [(a,b)=(b,a)];

2. a,b є V_n [(a+b,c)=(a,c)+(b,c)];

3. a,b є V_n k є R [(ka,b)=k(a,b)];

4. a є V_n, a0 [(a,a)0].

Властивості скалярного добутку:

1. (а₁+а₂+…+а_n,b)=(a₁,b)+(a₂,b)+…+(a_n,b);

2. (a-b,c)=(a,c)-(b,c);

3.  b є V_n [(0,b)=0];

4. (k_ia_i,m_jb_j)=k_im_j(a_i,b_j), i=1,…,k, j=1,…,n;

5. (a,a)=0  a=0;

6. (,)=0.

Означення. Дійсний векторний простір, в якому визначений скалярний добуток, називається евклідовим простором.

Позначається евклідовий простір Е, а евклідовий простір

розмірності n – En.

Приклади евклідових просторів:

1. Множина векторів простору Vn утворює Еn, якщо скалярний добуток векторів а=(а₁,а₂,…,а_n) і b=(b₁,b₂,…,b_n) визначається правилом

(a,b)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n.

2. Якщо в просторі С[a,b] функцій, неперервних на сегменті [a,b], скалярний добуток х(t) i y(t) визначається правилом

(x(t),y(t))=x(t)y(t)dt, то множина С[a,b] утворює Еn.

Теорема 1. В будь-якому n-мірному дійсному векторному просторі Vn можна визначити скалярний добуток, тобто простір Vn можна перетворити в евклідовий простір Еn.

§2. Довжина вектора. Кут між векторами.

Нехай а – будь-який вектор простору Еn.

Означення. Невід’ємне значення квадратного кореня з числа (а,а) називається довжиною або нормою вектора а і позначають а .

а =

Властивості норми вектора:

1. а =0  a=0;

2. k є R kа = k а .

Теорема 2. (Нерівність Коші-Буняковського)

Для довільних векторів a,b евклідового простору має місце нерівність:

(a,b)²  а ² b ²

Означення. Кутом між векторами a i b (відмінних від нульових) евклідового простору Е називається таке число  (0<=<=), що .

Означення. Вектори a i b простору Е називаються ортогональними, якщо (a,b)=0. Для ненульових векторів a,b це рівносильно тому, що кут між а і b дорівнює /2.

Теорема 3. (Піфагора)

Квадрат довжини суми довільних ортогональних векторів a i b евклідового простору Е дорівнює сумі квадратів доданків:

a+b²=a²+b².

Доведення. Нехай a i b довільно вибрані ортогональні вектори в Е. Тоді за означенням довжини вектораa+b²=(a+b,a+b). Але за другою аксіомою скалярного добутку

(a+b,a+b)=(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b).

А внаслідок ортогональності векторів a i b (a,b)=(b,a)=0.

Таким чином a+b²=(a,a)+(b,b)= a²+b².

Теорема 4. (Нерівність трикутника)

Довжина суми будь-яких двох векторів евклідового простору Е не більша, ніж сума довжин доданків : a+ba+b.

Доведення. Нехай a i b довільно вибрані вектори простору Е.

Тоді a+b²=(a+b,a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b).

Але оскільки за нерівністю Коші-Буняковського

2(a,b) 2ab, то

a+b² = (a+b,a+b)  (a,a)+2(a,b)+(b,b)=a²+2ab+b² = =(a+b)².

Отже, a+ba+b.