8.1. Отделение корней уравнения.

Численное решение уравнения (8.1) обычно проводят в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корни уравнения, т.е. найти такие интервалы изменения переменной х, где расположен только один корень. По сути дела, на этом этапе находят приближенные значения корней с погрешностью, задаваемой длиной каждого интервала. Нередко отделение корней удается провести, не обращаясь к математическим методам и алгоритмам, на основании физического смысла задачи или из анализа ее упрощенной математической модели. На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, т.е. находят корни с заданной точностью, для этого известен богатый набор алгоритмов и программ.

Отделение корней можно выполнить двумя методами - графическим и аналитическим.

8.1.1. Графический метод отделения корней.

Корни отделяются просто, если построен график функции в = f(x). Точки пересечения графика с осью Ох дают значение корней, и по графику легко определить два числа а и b, между которыми находится только один корень.

8.1.2. Аналитический метод отделения корней.

Аналитически корни уравнения f(x)= 0 можно отделить, используя некоторые свойства функций. Сформулируем теоремы, которые необходимые при отделении корней.

Теорема 1. (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f(x)непрерывная на отрезке [а, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а, b] существует, по крайней мере, одни корни уравнения f(x)= 0.

Это очень важная теорема, все численные методы решения нелинейных уравнений ее используют.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывная и монотонная на отрезке [а, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а, b] содержится корень уравнения f(x)= 0 и этот корень - единственный.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [а, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x)= 0 и притом единый.

Теоремы 2 и 3 тяжело использовать, причиной этого является сложность проверки условия монотонности функции или эквивалентного условия - производная f'(x) сохраняет постоянный знак.

Если нужно найти только один произвольный корень уравнения f(x)= 0, то определяют интервалы, на концах которых функция f(x) принимает значение противоположных знаков. Как правило, именно такие задачи будут рассмотрены в дальнейшем.

8.2. Метод половинного деления (метод дихотомии).

Считаем, что отделение корней уравнения (8.1) проведено и на отрезке [а,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с допустимой погрешностью ε (рис. 8.1).

Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [а, b]

х = (а+b)/2

и вычисляем функцию f(x). Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f(x) есть непрерывная функция аргумента х, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f(x) имеет разные знаки. На рис. 8.1 это будет отрезок [а, х₁] т.е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в середину отрезка х и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [а, b].

Рисунок 8.1 – Пояснение решению нелинейного уравнения методом половинного деления.

Итерационный (повторяющийся) процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [а, b] не станет меньше заданной погрешности ε.

Метод дихотомии позволяет значительно уменьшить объем вычислений по сравнению с графическим методом. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень, уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен (b - а)/2ⁿ. За 10 итераций интервал уменьшится в 2¹⁰ = 1024, примерно в тысячу раз, за 20 итераций - в 2²⁰ примерно 10⁶ раз.

К недостаткам метода половинного деления относится относительно медленная сходимость. Кроме того, если корней на отрезке [а, b] несколько, то неизвестно, к какому корню сойдется процесс. Достоинством метода половинного деления есть простота и надежность.