- •Предмет математичного моделювання.
- •Моделювання в економіці.
- •3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •4. Задачі планування та організації виробництва.
- •4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •4.2. Задача про завантаження обладнання.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- •Задачі математичного програмування.
- •2. Класифікація методів математичного програмування.
- •3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Форми запису загальної задачі лп.
- •3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- •2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- •3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- •1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- •2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Поняття виродженності задач лп.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- •4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- •5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- •6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •5. Метод потенціалів.
- •6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- •7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •Задача про призначення.
- •Розподільчи задачі загального типу.
- •Модель розподільчої задачі
- •Етапи розв’язання розподільчої задачі
- •Приклад вирішення задачі типу тз.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- •4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- •5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Зведення задачі лп до матричної гри.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •2. Метод множників Лагранжа.
- •3. Задачі опуклого програмування.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- •Поняття про функціонал.
- •2. Екстремум функціоналу.
- •3. Класичні задачі варіаційного числення.
- •4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- •5. Перша та друга варіації функціоналу.
- •Питання для самоконтролю.
4.2. Задача про завантаження обладнання.
Нехай підприємству задано план виробництва продукції за часом і номенклатурою: треба за час Т виготувати n1, n2, …… nk одиниць продукції Р1, Р2, P3, ……Pk. Продукція обробляється на верстатах S1, S2, S3,……. Sm. Для кожного верстата відома продуктивність аij (тобто кількість одиниць продукції Рj, яку можна виготувати на верстаті Si) і витрати bij на виготовлення продукції Рj на верстаті Si за одиницю часу.
Необхідно скласти такий план роботи верстатів (тобто так розподілити обробку продукції між верстатами), щоб витрати на виробництво всієї продукції були мінімальними.
Позначимо хij – час, протягом якого верстат Si буде виготовляти продукцію Рj (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..n).
Оскільки час роботи кожного верстата обмежений і не перевищує Т, то справедливі нерівності:
x1,1+ x1,2 +x1,3 + ……. + x1,k ≤ T
x2,1+ x2,2 +x2,3 + ……. + x2,k ≤ T
x3,1+ x3,2 +x3,3 + ……. + x3,k ≤ T (4)
xm,1+ xm,2 +xm,3 + ……. + xm,k ≤ T
Для виконання плану виготовлення за номенклатурою необхідно, щоб виконувались рівності:
a11x11+a21x21+……………. + am1xm1 ≤ n1
a12x12+a22x22+ …………… +am2xm2 ≤ n2
…………………………………………. (5)
a1kx1k+a2kx2k+………………+amkxmk ≤ nk
Крім цього, хij≥0, (i=1.2.3…..m, j=1.2.3…..k) (6)
Витрати на виробництво всієї продукції задаються функцією
L= b1kx1k+b2kx2k+……+bmkxmk →min (7)
Отже, ЕММ задачі про завантаження обладнання має вигляд:
Знайти такий розв’язок Х=(x11,x12,x13,…….,xmk ) , що задовольняє системам (4) – (6), за якою функція набуває мінімального значення.
Приклад 3.
Інвестиційна компанія має на своєму рахунку 5 млн. грн. Розглядаються чотири види інвестицій – державні цінні папери, цінні папери корпорацій, акції сфери обслуговуння та акції виробничої сфери. Державні цінні папери належать до без ризикових, решта інвестицій – до ризикових. Метою інвестиційної компенії є максимізація прибутку. Прибуток від інвестицій становить відповідно – 5%, 8%, 10% та 12%. Гроші які не інвестуються, залишаються на банківському рахунку і дають прибуток 1%. Менеджер з інвестицій ухвалив рішення, що не менше ніж 2 млн. грн. слід розмістити у цінні папери корпорацій, а в інвестиційні проект из елементами ризику потрібно вкласти не більше ніж 4 млн. грн.
Визначити оптимальний інвестиційний портфель, суму грошей, яка залишиться на банківському рахунку, а також річний прибуток від реалізації цього портфеля.
Питання для самоконтролю.
В звязку з чим, виникла потреба при аналізі економічних систем в використанні математичного аппарату та обчислювальної техніки?
Що таке математичне моделювання?
Що таке модель?
Сформулюйте основні етапи економіко-математичного моделювання.
Признаки кваліфікації моделей?
Сформулюйте задачу про максимальну рентабільність підприємства.
Сформумюйте задачу про завантаження обладнання.