- •Предмет математичного моделювання.
- •Моделювання в економіці.
- •3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •4. Задачі планування та організації виробництва.
- •4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •4.2. Задача про завантаження обладнання.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- •Задачі математичного програмування.
- •2. Класифікація методів математичного програмування.
- •3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Форми запису загальної задачі лп.
- •3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- •2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- •3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- •1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- •2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Поняття виродженності задач лп.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- •4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- •5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- •6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •5. Метод потенціалів.
- •6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- •7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •Задача про призначення.
- •Розподільчи задачі загального типу.
- •Модель розподільчої задачі
- •Етапи розв’язання розподільчої задачі
- •Приклад вирішення задачі типу тз.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- •4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- •5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Зведення задачі лп до матричної гри.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •2. Метод множників Лагранжа.
- •3. Задачі опуклого програмування.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- •Поняття про функціонал.
- •2. Екстремум функціоналу.
- •3. Класичні задачі варіаційного числення.
- •4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- •5. Перша та друга варіації функціоналу.
- •Питання для самоконтролю.
1 Математичні моделі двоїстих задач.
З кожною задачею лінійного програмування зв’язана деяка інша цілком визначена, задача лінійного програмування яка називається двоїстою.
Початкова задача називається прямою задачею ЛП. Ці дві задачі тісно пов’язані між собою і утворюють єдину пару двоїстих задач.
Якщо пряма задача ЛП має вигляд:
Z=∑cixi →max (1)
за умов
∑aijxj ≤bi, (i=1,2…..m) (2)
xj ≥0 (j=1,2…..n) (3)
то двоїста задача записується так:
F=∑biyi →min (1*)
за умов
∑aijyi≥ cj, (j=1,2…..n) (2*)
yi≥0 (i=1,2…..m) (3*)
В матричному вигляді їх можна представити таким чином:
Пряма задача
, xj ≥0 (j=1,2…..n)
де А – матриця системи обмежень задачі розміром mxn;
В – вектор стовпець;
С – вектор строка;
АХ≤В;
Z →max.
Двоїста задача
tr = , yi ≥0 (i=1,2…..m)
де trA – транспонована матриця А;
trС – транспонований вектор С;
trB - транспонований вектор В;
AY ≥trC;
F →min.
У несиметричних парах двоїстих задач обмеження прямої задачі можуть бути записані як рівняння (у канонічному вигляді), а двоїстої – лише як нерівності. Якщо у цільовій функції двоїстої задачі вимагається знайти мінімум, то система обмежень матиме знак «≥», якщо максимум, то знак «≥» .
Моделі несиметричних пар цих задач можна зобразити у вигляді:
Пряма задача |
Двоїста задача |
Z=∑cixi →max/min за умов ∑aijxj =bi, (i=1,2…..m)
xj ≥0 (j=1,2…..n)
|
F=∑biyi →min/max за умов ∑aijyi≥/≤ cj, (j=1,2…..n)
yi є(-∞,∞) (i=1,2…..m)
|
Математична модель прямої задачі мішаної пари двоїстих задач містить обмеження, записані як рівняння, так і нерівності, причому знаків різних, за виглядом. Для складання двоїстої задачі необхідно привести всі нерівності системи обмежень прямої задачі до одного вигляду: якщо пряма задача на максимум, то всі нерівності обмежень приводимо до вигляду «≤», якщо на мінімум до вигляду «≥». Нерівності, для яких дані вимоги не виконуються, домножимо на (-1).
2. Основні теореми двоїстості.
Розглянемо пару даоїстих задач, утворену канонічною задачею ЛП і двоїстої до неї:
Пряма:
Z=∑cixi →max/min
за умов
∑aijxj =bi, (i=1,2…..m)
xj ≥0 (j=1,2…..n)
Двоїста:
F=∑biyi →min/max
за умов
∑aijyi≥/≤ cj, (j=1,2…..n)
yi є(-∞,∞) (i=1,2…..m)
Між прямою і двоїстою задачами ЛП існує тісний взаємозв’язок, який видно з наведених далі лем та теорем.
Лема 1. Якщо Х – деякий план прямої задачі, Y – довільний план двоїстої задачі, то значення цільової функції прямої задачі при плані Х не перевищує значення цільової функції двоїстої задачі при плані Y, тобто
Z(X)≤F(Y)
Лема 2. Якщо Z(X*)=F(Y*), та X* - оптимальний план прямої задачі, то Y* - оптимальний план двоїстої задачі.
Теорема 1. (перша теорема двоїстості). Якщо одна із пар двоїстих задач має оптимальний план, то і друга задача має оптимальний план і значення цільової функції при їх оптимальних планах рівні між собою, тобто Z(X*)=F(Y*).
Якщо ж цільова функція однієї із двоїстих задач необмежена (для прямої задачі - зверху, а для двоїстої з низу), то множина планів двоїстої задачі є порожньою.
Теорема 2. (друга теорема двоїстості) . Для того щоб плани Х* і Y* відповідно до задач (1) – (3) і (1*) – (3*) були оптимальними планами цих задач, необхідно і достатньо, щоб для кожного j (j=1,2…..n) виконувалась рівність:
(a1j(y1)* + a2j(y2)* + ……. + amj(ym)* - cj)(xj)* = 0
Економічну інтерпретацію двоїстої задачі розглянемо на прикладі задачі про оптимальне використання ресурсів, математична модель якої має вигляд:
Z=∑cixi →max
за умов
∑aijxj =bi, (i=1,2…..m)
xj ≥0 (j=1,2…..n)
Двоїста задача до неї буде така:
F=∑biyi →min
за умов
∑aijyi≥ cj, (j=1,2…..n)
yi ≥0 i=1,2…..m
Приклад. Підприємство виготовляє три види продукції А,В,С.
Дані задачі приведені у таблиці:
Види сировини |
Норми витрат сировини (кг) |
Запаси сировини |
||
А |
В |
С |
||
S1 |
18 |
15 |
12 |
360 |
S2 |
6 |
4 |
8 |
192 |
S3 |
5 |
3 |
3 |
180 |
Ціна від реалізації 1-ї одиниці продукції |
3 |
1 |
3 |
|
Знайти такий план випуску продукції, щоб прибуток від їх реалізації був максимальним.