- •Предмет математичного моделювання.
- •Моделювання в економіці.
- •3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •4. Задачі планування та організації виробництва.
- •4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •4.2. Задача про завантаження обладнання.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- •Задачі математичного програмування.
- •2. Класифікація методів математичного програмування.
- •3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Форми запису загальної задачі лп.
- •3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- •2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- •3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- •1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- •2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Поняття виродженності задач лп.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- •4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- •5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- •6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •5. Метод потенціалів.
- •6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- •7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •Задача про призначення.
- •Розподільчи задачі загального типу.
- •Модель розподільчої задачі
- •Етапи розв’язання розподільчої задачі
- •Приклад вирішення задачі типу тз.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- •4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- •5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Зведення задачі лп до матричної гри.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •2. Метод множників Лагранжа.
- •3. Задачі опуклого програмування.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- •Поняття про функціонал.
- •2. Екстремум функціоналу.
- •3. Класичні задачі варіаційного числення.
- •4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- •5. Перша та друга варіації функціоналу.
- •Питання для самоконтролю.
6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
Інвестиційна компанія має на своєму рахунку 5 млн. грн. Розглядаються чотири види інвестицій – державні цінні папери, цінні папери корпорацій, акції сфери обслуговуння та акції виробничої сфери. Державні цінні папери належать до без ризикових, решта інвестицій – до ризикових. Метою інвестиційної компенії є максимізація прибутку. Прибуток від інвестицій становить відповідно – 5%, 8%, 10% та 12%. Гроші які не інвестуються, залишаються на банківському рахунку і дають прибуток 1%. Менеджер з інвестицій ухвалив рішення, що не менше ніж 2 млн. грн. слід розмістити у цінні папери корпорацій, а в інвестиційні проект из елементами ризику потрібно вкласти не більше ніж 4 млн. грн.
Визначити оптимальний інвестиційний портфель, суму грошей, яка залишиться на банківському рахунку, а також річний прибуток від реалізації цього портфеля.
Питання для самоконтролю.
В чому полягає симплекс-метод із стандартним базисом?
Поясніть основну ідею симплекс-методу.
Як визначити початковий опорний план задачі ЛП?
Дайте економічну інтерпретацію критерію оптимальності опорного плану та правила переходу до нового базису.
Як визначається вектор для введення у базис, якщо опорний план неоптимальний?
Як визначається вектор, що виводиться із базису?
Сформулюйте ознаку нерозв’язності задачі ЛП у симплекс-методі.
Коли використовують симплекс-метод зі штучним базисом?
Принципи заповнення симплекс-таблиці.
Що таке розв’язувальний елемент симплекс-таблиці?
Як перевірити опорний план на оптимальність?
Поясніть метод Жордана-Гауса.
Що таке штучні змінні?
Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
Мета: ознайомити студентів з основними теоремами та методами розв’язання транспортної задачі
План лекції
1. Економічна та математична моделі транспортної задачі.
2. Основні теореми транспортної задачі.
3. Метод північно-західного кута (діагональний).
4. Метод найменших витрат.
Література:
1. Лавріненко Н.М., Латинін С.М., Фортуна В.В., Безкровний О.І. Основи економіко-метематичного моделювання: Навч. Посіб. - Львів: «Магнолія 2006», 2010.- 540с.
Іванюта І. Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник / І. Д. Іванюта, В. І. Рибалка, І. А. Рудоміно-Дусятська. – К.: «Слово», 2008. - 296 с.
Кучма М. І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник / М.І. Кучма. – Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. - 344 с.
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.
1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
Транспортна задача одна з найпоширеніших задач лінійного програмування. Її мета – розробка найбільш раціональних шляхів і способів транспортування однорідної продукції від постачальників до споживачів.
Транспортна задача – це специфічна задача лінійного програмування, яка застосовується для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.
У загальному вигляді транспортну задачу можна сформулювати так: в m пунктах постачання А1,А2,…… Am (надалі постачальники) міститься однорідна продукція у кількості відповідно а1, а2,….. аm. Цю продукцію потрібно перевезти в n пункти призначення B1,B2,…… Bn (надалі споживачі) у кількості відповідно b1, b2,….. bn. Вартість перевезення одиниці товару (тариф) із пункту Аi в пункт Bj дорівнює сji.
Математична модель транспортної задачі має такий вигляд:
F(xji)= ∑∑ xji сji→ min (1)
за умов
∑xji =ai (i=1,2…..m) (2)
∑xji =bj (j=1,2…..n) (3)
xji≥0 (i=1,2…..m; j=1,2…..n) (4)
Алгоритм і методи розв’язання транспортної задачі можна використати для знаходження розв’язку деяких економічних задач, які не мають нічого спільного з транспортуванням вантажів. У цьому разі величини тарифів перевезення сji мають різний зміст залежно від конкретної задачі. До таких задач належать наступні:
Оптимальне закріплення за верстатами операцій з обробки деталей. У них сji означає продуктивність праці.
Розміщення сільськогосподарських культур за ділянками землі різної врожайності.
Оптимальні призначення або проблема вибору.
Задача про скорочення виробництва із врахуванням загальних витрат на виготовлення і транспортування продукції
Збільшення продуктивності автомобільного транспорту за рахунок мінімізації порожнього пробігу