- •Предмет математичного моделювання.
- •Моделювання в економіці.
- •3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •4. Задачі планування та організації виробництва.
- •4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •4.2. Задача про завантаження обладнання.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- •Задачі математичного програмування.
- •2. Класифікація методів математичного програмування.
- •3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Форми запису загальної задачі лп.
- •3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- •2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- •3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- •1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- •2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Поняття виродженності задач лп.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- •4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- •5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- •6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •5. Метод потенціалів.
- •6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- •7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •Задача про призначення.
- •Розподільчи задачі загального типу.
- •Модель розподільчої задачі
- •Етапи розв’язання розподільчої задачі
- •Приклад вирішення задачі типу тз.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- •4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- •5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Зведення задачі лп до матричної гри.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •2. Метод множників Лагранжа.
- •3. Задачі опуклого програмування.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- •Поняття про функціонал.
- •2. Екстремум функціоналу.
- •3. Класичні задачі варіаційного числення.
- •4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- •5. Перша та друга варіації функціоналу.
- •Питання для самоконтролю.
Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач ЛП симплекс – методов із стандартним базисом, симплекс-методом зі штучним базисом.
План лекції
Симплекс-метод із стандартним базисом
Теоретичні основи симплекс-метода.
Поняття виродженності задач ЛП.
Література:
1. Лавріненко Н.М., Латинін С.М., Фортуна В.В., Безкровний О.І. Основи економіко-метематичного моделювання: Навч. Посіб. - Львів: «Магнолія 2006», 2010.- 540с.
Іванюта І. Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник / І. Д. Іванюта, В. І. Рибалка, І. А. Рудоміно-Дусятська. – К.: «Слово», 2008. - 296 с.
Кучма М. І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник / М.І. Кучма. – Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. - 344 с.
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.
1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
Симплекс метод полягає в послідовних переходах від одних опорних планів до інших так, щоб значення цільової функції зростало (якщо задача ЛП задається на пошук максимуму) або на зменшення цільової функції (якщо задача ЛП задається на пошук мінімуму). Оскільки число опорних планів задачі скінченне, то через скінченне число кроків отримаємо оптимальний опорний план (якщо він існує, або впевненість, що цільова функція на множені планів необмежена).
Розглянемо два різновиди симплексного метода:
Симплекс – метод із стандартним базисом;
Симплекс метод із штучним базисом (М- метод).
Спочатку розглянемо розв’язання задачі ЛП симплекс – метод із стандартним базисом.
Для застосування цього методу розглянемо задачу ЛП у канонічному вигляді
Z=∑cixi →max
за умов
х1e1+ х2e2+ х3e3 + ….. + хmem + хm+1Pm+1 + ….. + хnPn=P0, де
ei – одиничні вектори, Pk = (a1k, a2k,….. amk) (k=m+1,m+2,…. n), P0 = (b1, b2,… bm)
Оскільки перші m векторів еi одиничними, то легко бачити, що виконується рівність
b1e1+ b2e2+ b3e3 + ….. + bmem =P0.
Тоді очевидним є початковий опорний план: X=( b1,b2,b3, ….. bm, 0….0), який перевіряємо на оптимальність. Для цього заповнюємо симплексну таблицю.
Таблиця 1.
i |
базис |
Сбаз |
Р0 |
c1 |
c2 |
… |
сm |
cm+1 |
… |
cn |
P1 |
P2 |
0 |
Pm |
Pm+1 |
… |
Pn |
||||
1 |
P1 |
c1 |
b1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
a1m+1 |
… |
a1n |
2 |
P2 |
c2 |
b2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
a2m+1 |
… |
a2n |
… |
… |
… |
... |
0 |
0 |
1 |
0 |
… |
… |
… |
m |
Pm |
сm |
bm |
0 |
0 |
0 |
1 |
amm+1 |
… |
amn |
|
|
Δj |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Δm+1 |
… |
Δn |
Усі рядки за винятком останнього рядка заповнюються за даними системи обмежень і цільової функції. Останній рядок обчислюється за формулою:
Δj=∑ciaij – cj , (j=1,2, …. n) і Δ0=∑cibi . Останній рядок називається індексним.
Отриманий план перевіряють на оптимальність, зміст якої розкривається у наступних теоремах.