- •Предмет математичного моделювання.
- •Моделювання в економіці.
- •3. Класификація економіко – математичних моделей. Формальна класіфикація моделей.
- •4. Задачі планування та організації виробництва.
- •4.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.
- •4.2. Задача про завантаження обладнання.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 1. Предмет, методи і завдання дисципліни. Класифікація задач. Лекція 2
- •Задачі математичного програмування.
- •2. Класифікація методів математичного програмування.
- •3. Модель міжгалузевого балансу „Витрати - випуск”.
- •Коефіціети прямих та побічних витрат.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 3 Тема лекції: Основні теореми та властивості задач лінійного програмування (лп).
- •1. Загальна форма задачі лінійного програмування (лп).
- •2. Форми запису загальної задачі лп.
- •3. Основні теореми та властивості задачі лп.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2.Загальна задача лінійного програмування та деякі зметодів її розв’язування Лекція 4 Тема лекції: Графічний метод розв’язування задач лп.
- •2. Графічний метод розв’язування задач лп з
- •3. Приклади розв’язування задач лп графічним методом.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язання Лекція 5 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом.
- •1. Симплекс-метод із стандартним базисом.
- •2. Теоретичні основи симплекс-метода.
- •3. Поняття виродженності задач лп.
- •Тема 2. Загальна задача лінійного програмування та деякі з методів її розв’язування Лекція 6 Тема лекції: Розв’язання задач лп симплекс-методом (продовження)
- •4. Правило уникнення зациклювання при застосуванні симплекс-методу.
- •5. Метод штучної базиси розв’язування задач лп.
- •6. Приклад вирішення задачі лп методом штучної бази.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 7 Тема лекції: Транспортна задача
- •1 Економічна та математична моделі транспортної задачі.
- •2 Основні теореми транспортної задачі.
- •3. Метод північно-західного кута (діагональний.)
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 8 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •5. Метод потенціалів.
- •6. Приклад вирішення транспортної задачі.
- •7. Ускладнені задачі транспортного типу.
- •Тема 3. Транспортна задача. Лекція 9 Тема лекції: Транспортна задача (продовження)
- •Задача про призначення.
- •Розподільчи задачі загального типу.
- •Модель розподільчої задачі
- •Етапи розв’язання розподільчої задачі
- •Приклад вирішення задачі типу тз.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Лекція 10. Тема лекції: Двоїста задача лінійного програмування
- •1 Математичні моделі двоїстих задач.
- •3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 5. Цілочислові та параметричні задачі лінійного програмування
- •Тема лекції: Узагальнення задачі лінійного програмування.
- •Задачі цілочислового програмування.
- •2. Метод Гоморі.
- •3. Параметричне лінійне програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри
- •1. Постановка задач теорії парних ігор з нульовою сумою.
- •Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.
- •Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.
- •Тема 6. Елементи теорії ігор
- •Тема лекції: Матричні ігри (продовження)
- •4. Графічний метод розв’язання теорії ігор.
- •5. Зведення задач теорії ігор до задач лп.
- •Зведення задачі лп до матричної гри.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
- •Тема лекції: Задача дробово-лінійного програмування
- •Постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •2. Приведення задачі дробово-лінійного програмування до задачі лінійного програмування.
- •3. Розв’янання задач дробово-лінійного програмування.
- •4. Графічне розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Задачі нелінійного програмування
- •1. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.
- •2. Метод множників Лагранжа.
- •3. Задачі опуклого програмування.
- •Задачі опуклого програмування.
- •Питання для самоконтролю.
- •Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
- •Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення
- •Поняття про функціонал.
- •2. Екстремум функціоналу.
- •3. Класичні задачі варіаційного числення.
- •4. Варіація функції та приріст функціоналу.
- •5. Перша та друга варіації функціоналу.
- •Питання для самоконтролю.
3 Взаємозв’язок розв’язків прямої та двоїстої задач.
Розглянемо пару двоїстих задач ЛП (1) – (3) і (1)* - (3)*, пряма задача якої записана у канонічному вигляді. Наступна теорема встановлює взаємозв’язок між розв’язками прямої і двоїстої задачами.
Теорема 3. Якщо пряма задача ЛП має оптимальний план Х*, отриманий симплекс методом, то оптимальний план Y* двоїстої задачі визначається за формулою:
Y*=CбазР-1 (4)
де Cбаз – вектор рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції прямої задачі при невідомих, які є базисними в оптимальному плані; Р-1 – матриця, обернена до матриці Р, складеної з компонент базисних векторів оптимального плану задачі.
Таким чином, якщо знайти симплекс методом оптимальний план задачі (1) –(3), то використовуючи останню симплекс таблицю, можна визначити Cбаз і Р-1 та за допомогою співвідношення (5.4), знайти план двоїстої задачі.
Відмітимо, що існує взаємно-однозначна відповідність між змінними: основним змінним прямої задачі відповідають додаткові змінні двоїстої задачі і навпаки:
Змінні прямої задачі |
|||||||
Основні |
Додаткові |
||||||
Х1 |
Х2 |
…….. |
Хк |
Хк+1 |
Хк+2 |
………. |
Хn |
Yn-k+1 |
Yn-k+2 |
…….. |
Yn |
Y1 |
Y2 |
……… |
Yn-k |
Додаткові |
Основні |
||||||
Змінні двоїстої задачі |
|||||||
Ідея двоїстого симплексного методу полягає у зв’язку між розв’язуваннями прямої та двоїстої задач ЛП. Немає потреби окремо розв’язувати пряму задачу, а окремо двоїсту, оскільки розв’язок обох задач можна знайти за одними й тими самими симплекс таблицями, пам’ятаючи, що невідомим прямої задачі відповідають стовпчики таблиці, а невідомим другої – рядки таблиці.
Двоїстий симплекс метод використовується для знаходження розв’язку задачі ЛП, записаної у канонічному вигляді, для якої серед векторів Рj, складених з коефіцієнтів при невідомих у системі рівнянь, є рівно m одиничних.
Також цей метод можна використовувати для знаходження розв’язку задач ЛП, коли вільні члени системи рівнянь є довільними числами (для розв’язування задач симплекс методом числа bi припускались невід’ємними).
Питання для самоконтролю.
Нехай є задача про оптимальне використання ресурсів. Дайте економічну інтерпретацію двоїстої задачі.
Сформулюйте першу теорему двоїстості.
Сформулюйте другу теорему двоїстості.
Перечисліть ознаки взаємно двоїстих задач.
Як по рішенню прямої задачі знайти рішення двоїстої задачі.
В чому полягає ідея двоїстого симплекс методу.
Який економічний зміст основних змінних двоїстої задачі?
Який економічний зміст додаткових змінних двоїстої задачі?
Який економічний зміст перевірки системи обмежень прямої задачі для знайденого оптимального плану?
Що дає перевірка обмежень двоїстої задачі?
Як проводиться аналіз стовбців останньої симплекс таблиці, для яких Δi>0?