2. Метод множників Лагранжа.

Розглянемо задачу НП з обмеженнями – рівностями:

Z=f(x₁, x₂,….. x_n) →max/ min (3)

за умов

g_i(x₁, x₂,….. x_n)=b_i, i=1,2…..m (4)

в якій f і g_i двічі неперервно диференційовані функції.

Для визначення оптимальних точок цієї задачі, введемо набір змінних λ_i (i=1,2,….m), які називаються множниками Лагранжа, і побудуємо функцію Лагранжа

L(x₁, x₂,….. x_n, λ₁, , λ₂,...., λ_m)= f(x₁, x₂,….. x_n) + ∑ λ_i(b_i - g_i(x₁, x₂,….. x_n)) (5)

Відшукання умовного екстремуму задачі зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа (5). Характер оптимальності з’ясовується аналогічно, як і у випадку безумовного екстремуму.

3. Задачі опуклого програмування.

Означення 1. Функція f(x₁, x₂,….. x_n), що задана на опуклій множені Х, називається опуклою, якщо для будь – яких двох крапок Х₁,Х₂ є Х і довільного µє[0;1] виконується співвідношення:

f(µX₁+(1-µ) X₂) ≤ µ f(X₁) +(1-µ) f(X₂)

Означення 2. Функція f(x₁, x₂,….. x_n), що задана на опуклій множині Х, називається вгнутою, якщо для будь яких двох крапок Х₁,Х₂ є Х і довільного µє[0;1] виконується співвідношення

f(µX₁+(1-µ) X₂) ≥ µ f(X₁) +(1-µ) f(X₂).

Якщо f(x₁, x₂,….. x_n) – опукла, то - f(x₁, x₂,….. x_n) – вгнута.

Загальна постановка задачі опуклого програмування:

Z=f(x₁, x₂,….. x_n) →max (6)

за умов

g_i(x₁, x₂,….. x_n) ≤b_i, i=1,2…..m (7)

x_j ≥0 j=1,2,…..n (8)

де f – вгнута і g_i - опуклі функції

Надалі припустимо, що ОДР задачі (6) – (8) не порожня й обмежена.

Теорема 3. Довільний локальний максимум (мінімум) задачі опуклого програмування є глобальним максимумом (мінімумом).

Означення 3. Говорять, що множина ОДР задовольняє умову регулярності, якщо існує хоча б одна крапка

Означення 4. Говорять, що множина допустимих планів (6) – (8) задовольняє умові регулярності, якщо існує хоча б одна крапка х _i з області допустимих розв’язків така, що g_i(x_i)<b_i (i=1,2,….m).

Означення 5. Крапка (Х^*,Λ^*) називається сідловою крапкою функції Лагранжа, якщо L(Х,Λ^*) ≤L(Х^*,Λ^*)≤L(Х^*,Λ) для всіх x_j ≥0 (j=1,2,…n) і λ_i≥0 (i=1,2,….m).

Теорема 4. (Куна-Такера). Нехай для ОДР задачі опуклого програмування (6) – (8) виконується умова регулярності. План Х^*буде оптимальним планом цієї задачі тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор Λ^*, λ_i≥0 (i=1,2,….m), що пара (Х^*,Λ^*) – сідлова крапка функції Лагранжа.

Зазначимо, що умови Куна-Такера мало придатні для знаходження оптимального розв’язку, вони лише характеризують розв’язок, тобто дають можливість перевірити деякий розв’язок на оптимальність.

1. Задачі опуклого програмування.

Розглянемо задачу квадратичного програмування, яка є окремим випадком задач опуклого програмування.

Означення 6. Квадратичною формою відносно змінних x₁, x₂,….. x_n називається функція Z, яка має вигляд Z=∑∑с_jix_ix_j.

Означення 7. Квадратична форма Z називається додатньо (від’ємно) – визначеною, якщо Z(Х)>0 ( Z(Х)<0) для всіх значень змінних Х, окрім крапки Х=(0,0,……0).

Означення 8. Квадратична форма Z називається додатньо (від’ємно) – напіввизначеною, якщо Z(Х) ≥0 ( Z(Х) ≤0) для будь якого набору значень змінних Х =(x₁, x₂,….. x_n) і, крім того, існує такий набір змінних Х^*, де не всі змінні одночасно рівні нулю, що Z(Х) =0.

Теорема 5. Квадратична форма є опуклою функцією, якщо вона додатньо-напіввизначена.

Постановка задачі квадратичного програмування має вигляд:

Z=∑∑с_jix_ix_j.+ ∑d_jx_j→max/ min (9)

за умов

∑a_ijx_j ≤b_i, (i=1,2…..m) ,

x_j ≥0 (j=1,2…..n) ,

де ∑∑с_jix_ix_j - від’ємно (додатньо) – напіввизначена квадратична форма.

Алгоритм знаходження розв’язку задачі квадратичного програмування.

1. Складаємо функцію Лагранжа.

2. Записуємо необхідні і достатні умови існування сідловок точки для функції Лагранжа.

3. Використовуючи метод штучного базису, встановлюємо відсутність сідловок крапки для функції Лагранжа, або знаходимо ії координати.

4. Записуємо оптимальний план початкової задачі й обчислюємо значення цільової функції.