Питання для самоконтролю.

• Сформулюйте загальну задачу НП.

• Сформулюйте задачу сепарабельного програмування.

• Сформулюйте задачу квадратичного програмування.

• Сформулюйте задачу опуклого програмування.

• Поясніть метод множників Лагранжа.

• Сформулюйте означення сідловок точки функції Лагранжа.

• Сформулюйте теорему Куна-Такера.

• Сформулюйте означення додатньо-визначеної квадратичної форми.

• Сформулюйте означення додатньо-напіввизначеної квадратичної форми.

Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.

Лекція 16.

Тема лекції: Основні поняття теорії варіаційного числення

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач варіаціонного числення.

План лекції

1. Поняття про функціонал.

2. Екстремум функціонала.

3. Класичні задачі варіаційного числення.

4. Варіація функції та приріст функціоналу.

5. Перша та друга варіація функціоналу.

Література:

1. Лавріненко Н.М., Латинін С.М., Фортуна В.В., Безкровний О.І. Основи економіко-метематичного моделювання: Навч. Посіб. - Львів: «Магнолія 2006», 2010.- 540с.

2. Іванюта І. Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник / І. Д. Іванюта, В. І. Рибалка, І. А. Рудоміно-Дусятська. – К.: «Слово», 2008. - 296 с.

3. Кучма М. І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник / М.І. Кучма. – Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. - 344 с.

4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

5. Высшая математика. Специальные главы: пособие для студентов вузов/ П.И. Чинаев, Н.А. Минаев, А.Ю. Перевозчиков, А.А. Черенков. Под ред. П.И. Чинаева. – 2-е изд. – Киев: Вища школа, 1981. – 368 с.

1. Поняття про функціонал.

Методи варіаційного числення знаходять широке застосування в різних галузях науки та виробництва при постановці та розв'язуванні задач моделювання, оптимізації та управління. Володіння ними стає складовою частиною сучасної інженерної та економічної освіти.

Нехай задано деякий клас D функцій . Якщо кожній функції із класу D за деяким законом ставиться у відповідність певне числове значення змінної I, то ця змінна І називається функціоналом від однієї функціональної змінної і позначається .

Клас D функцій , на яких визначений функціонал, називається областю визначення функціоналу. При цьому функція служить незалежною змінною (аргументом) функціоналу. Функції із області визначення D даного функціоналу І називаються функціями порівняння або допустимими функціями.

Кожну функцію , яка належить області визначення D функціоналу І[у], можна розглядати як точку (елемент) деякої множини (простору) функцій. Простори, елементами яких служать функції, називаються функціональними просторами. Можна сказати, що функціонал — це функція, в якої значеннями незалежної змінної є точки (елементи) функціонального простору, а значеннями залежної змінної І — числа.

Можна розглядати також функціонали від кількох незалежних функціональних змінних. Якщо скінченному набору функцій з певного класу функцій D ставиться у відповідність за деяким законом певне числове значення змінної І, то І називається функціоналом від n функціональних змінних і позначається .

Приклад 1. Обчислити заданий функціонал при заданих значеннях аргументу:

а) 

б) 

Розв'язання.

а) 

б) 

Надалі будемо розглядати, в основному, функціонал вигляду , областю визначення якого служить клас функцій , що визначені та неперервні разом з першою похідною на відрізку .