Интеграл перекрытия волновой функции.
∫Ψ*(r)[U®-Ua(Pno)] Ψ*(Pno)dτ=-Ano
(Pno=r-ano)
Ano –определяет величину обменπ энергии при перекрытии волновой функции, отрицательное т.к. U(r)-Ua(Pno)<0
*)E(k)=Ea+[(∑n ei(k,an)*∫ Ψa*(r)[U(r)-Ua(Pno)] Ψa(Pn)dτ)/((∑n ei(k,an)*∫ Ψa*(r) Ψa*(Pn)dτ)]
И т.о. уравнение *) примет вид:
E(k)=Ea-c-∑noei(k,ano)*Ano
Ano – для S- состояния величина изотропная
Ano=A
и E(k)=Eo-c-A∑noei(k,ano)
Применение метода псэ для расчёта e(k) для конкретных решеток.
Кристалл с простой кубической решеткой (ПКР).Направление оси x, y, z по ребрам куба.
Тогда ano=(±a, 0, 0), (0, ±a, 0), (0, 0, ±a)
a - постоянная ПКР
Для расчёта E(k) вычислим
∑noei(k,ano)= ei(kx,a)+ e-i(kx,a)+ ei(ky,a)+ e-i(ky,a)+ ei(kz,a)+ e-i(kz,a)
kx, ky, kz – компоненты волнового вектора k на направления x, y, z в кристалле
E(k)=Ea-c-2A(cos kxa+ cos kya+ cos kza)
Т.е. E(r) – периодическая функция компонент kx, ky, kz в k – пространстве.
Энергия E(k) принимает экстремальные значения при kx=ky=kz=0→Emin=-6A и Emax=+6A(при kx=π/2)
Т.о. имеет место образование разрешенной зоны шириной Emax-Emin=12A(A- модуль)
Образование зоны 12А в ПКР
(обычное пространство)
Можно положить Ea-c=0(начало отсчёта энергии)
E(k)=-2A(cos kxa+ cos kya+ cos kza)
в k – пространстве – пространство веществ.
Плотность состояний в разрешенной зоне кристалла конечных размеров. Дискретность волнового вектора электрона в кристалле.
Реальные кристаллы - имеют ограниченные размеры, т.е. имеют границы. На границах в следствии обрыва химических связей возникают поверхностные состояния.
Для подсчета числа состояний в объемной зоне кристалла используют циклические граничные условия.
Пусть реальный кристалл имеет форму параллепипеда и кубическую решетку.
Размеры ребер Lx, Ly, Lz
Постоянная решетки – a
Длина ребер Lx=Nxa
Ly=Nya
Lz=Nza
Nx, Ny, Nz –число атомов, которое укладывается на ребре.
Для исключения влияния границ на энергетический спектр электронов в объемной зоне используют циклические граничные условия, которые заменяют эквивалентность физических состояний при образовании из кристалла объемом LxLyLz кристалла бесконечных размеров, т.е. все пространство заполнено кристаллом LxLyLz.
Эквивалентность функции состояний в точках (x, x+Lx), (y+Ly), (z+Lz) означает, что волновые функции элементов в этих точках эквивалентны, т.е. они обладают периодичностью с периодом бесконечного кристалла (трансляция).
Докажем это:
(x+LX,
y, z) =
(x,
y+Ly,
z) =
(x,
y, z+Lz)
- циклические граничные условия.
Плоская бегущая волна:
(x+LX,
y, z)
= U
(x+LX,
y, z)
где: (x+LX, y, z) -функция Блоха
U (x+LX, y, z) -амплитуда электронной волны
-фазовый множитель
U (x+LX, y, z) = U (x, y, z) -“автоматически” (функция периодичная)
exp →
т.е.
(x+LX, y, z) = U (x, y, z) или
(x+LX,
y, z) = U
(
)
Чтобы функции совпали должна быть равна нулю.
Мнимая exp
= 1, когда показатель равен 2П -целое
число; т.е.
=
,
где Ux
-целое число, т.е.
(x+LX,
y, z) =
U
(
)
-функция
периодическая
Где: U ( ) -функция Блоха
Из этого следует, что компоненты волнового вектора электроны:
Kx
=
nx
аналогично Ky
=
ny,
Kz =
nz
Дискретность компонент Ux, Ky, Kz на направлениях x, y, z приводит к дискретности энергии электрона в зоне и энергия в зоне изменяется не непрерывно, а квазинепрерывно.
Для определения плотности состояний в зоне необходимо из набора nx, ny, nz выделить их значения отвечающие физически различным (неэквивалентным) состояниям в зоне.
Используя в.ф.
метода ПСЭ одномерного случая:
вычислим
x
для разных nx:
Если nx = 0, то в.ф. совпадает с.в.ф. для nx = Nx
Если nx = 1, то в.ф. совпадает с.в.ф. для nx = Nx+1
Т.е nx принимает для физ. Неэквивалентных состояний значения от ноля до Nx
Или 0 ‹
nx
‹ Nx
;
;
Комп.
:
или
:
;(
)
или
:
;(
)или
Т.о волновой вектор
электрона в зоне огранич. кристалла
принимает
-значений
это есть число атомов в кристалле для примитивной решетки, для сложной решетки -число элементарных ячеек.