Уравнение Шредингера для электронной подсистемы кристалла.

Стационарное уравнение Шредингера позволяет определить собственные значения оператора полной энергии кристалла

Н*ψ=Е*ψ

В результате применения адиабатического приближения и введения понятия самосогласованного поля оператор полной энергии (Гамильтониан ) кристалла переходит в Гамильтон T электронов.

Волновая функция кристалла Ψ(r_i,Rα)→Ψ(r_i,R₀α) переходит в волновую функцию электронов R₀α – параметр определяющий координаты покоящихся ядер (координаты узлов кристаллической решетки)

Энергия электронов Ee=Ee(R₀α) параметрически зависит от R₀α

Уравнение Шредингера: ĤΨ (r,Ro)=E (R₀α)Ψ (r, R₀α) – многоэлектронное уравнение, в общем виде не решается.

Одноэлектронное приближение. Метод самосогласованного поля.

-сводит многоэлектронное уравнение Шредингера к одноэлектронному, введением самосогласованного поля.

Ωi(r)- потенциальная энергия i-го электрона в поле, создаваемом остальными электронами.

Движение i-го электрона и других электронов взаимосвязаны: движение отдельного электрона влияет на движение всей совокупности электронов.

Это позволяет считать движение электронов независимым в некотором поле, равном ∑Ωi(r) и позволяет заменить в уравнении Шредингера энергию взаимодействия электронов Uee на ∑Ωi(r)

Аналогично потенциальную энергию взаимодействия электронов и ядер Uez заменить на сумму энергий отдельных электронов в поле ядер:

Uez=∑Ui(r)

и таким образом Ĥ=∑( -ћ²/2mi▼²i)+∑Ωi(r)+∑Ui(r)=∑(Ĥi)

где Ĥi –гамильтон i-го электрона

Ĥi=-ћ²/2miUi²+ Ωi(r)+Ui(r)

(электроны не взаимодействуют между собой – движения их независимы)

Поэтому волновая функция Ψ=ПΨi .

Где Ψi – волновая функция i-го электрона

Энергия электронов E=∑(E_i)

Ei – энергия i-го электрона

Уравнение Шредингера:

(∑Ĥi)(ПiΨi)=∑(Ei)(ПiΨi) или ĤiΨi=EiΨi – одноэлектронное уравнение Шредингера опустим “i” – т.к. электроны неразличимы.

[-ћ²/2m▼²+ Ω(r)+U(r)]Ψ(r)=EΨ(r)

Учтём симметрию кристалла:

Введем кристаллический потенциал U(r)=Ω(r)+U(r)

U(r) – периодическая функция с периодом кристаллической решетки.

U(r+a_n)=U(r), a_n – вектор трансляции решётки.

Периодичность U(r) следует из периодичности распределения плотности электронов, ионизующихся около ядер.

Т.о. одно электронное уравнение Шредингера с учётом симметрии кристалла:

[-ћ²/2m▼²+ Ω(r)+U(r)]Ψ(r)=EΨ(r)

E – разрешенное состояния электронов в кристалле.

Одноэлектронная волновая функция ψ(r)

Для нахождения электрического спектра электронов необходимо выбрать волновую функцию удовлетворяющую условию трансляционной симметрии кристалла.

Согласно теореме Блоха волновая функция есть: Ψ(r)=Uk(r)e^i(kr)

Т.е. произведение экспоненты e^i(rk) определяет фазу электронной волны (волны Блоха) на периодическую функцию

Uk(r)=Uk(r+a_n) –амплитуда, модулирования по периоду решетки.

Т.о. волновая функция Блоха – плоская бегущая волна с модулированной амплитудой.

k- квази волновой вектор электрона в периодическом поле кристалла U(r) вид функции U_k(r) – зависит от вида U(r)