Условие трансляции.

Ψ(r+a_n)=e^{i(k, a}_n⁾Ψ(r)

Т.е. при смещении электрона на вектор решетки an изменяется фаза. Но фаза не имеет значения при определении физических параметров.

Например: вероятность нахождения электрона в элементе объема dτ около точки r:

W(r)=|Ψ(r)|²dτ ,

при этом U(r)=W(r+a_n)

Докажем условие трансляции волновой функции.

Запишем r на r+a_n

Ψ(r+ a_n)=U(r+ a_n)e^{i(k, r+ an)}

U(r+ a_n)=U(r) –автоматически

e^{i(k, r+ an)}= e^{i(k, an)}*e ^(k,r)

и т.о. Ψ(r+ a_n)= e^{i(k, an)}*U_k(r)e^i(k,r)= e^{i(k, an)}*Ψ(r)

Т.о. электроны свободно перемещаются в кристалле не рассеиваясь, т.е. их движение аналогично движению свободных электронов.

Приближение сильносвязанных электронов (псэ)

- метод линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) – метод решения одноэлектронного уравнения Шредингера для электронов в диэлектриках и полупроводниках где валентные электроны сильно связаны с атомными составами (ионами)

В ПСЭ считают, что кристаллы образуют из изолированных атомов в 2 стадии:

- сначала образуют решетку из атомов с расстоянием между атомами d>a (a- const решетки определенной симметрии)

- затем образованную решетку однородно сжимают и доводят d до значения равному a – образуют кристалл нужной симметрии и параметров.

Энергетические состояния электронов атомов – E_a определены из уравнения Шредингера для атомов:

Ĥ_aΨ_a(r-a_n)=E_aΨ_a(r-a_n)

[-ћ²/2m▼²+U(r-a_n)]Ψa(r-a_n)=E_aΨa(r-a_n)

U(r-a_n) – потенциальная энергия электрона для атома с координатой a_n

r – расстояние электрона до соответственного атома.

Ψ_a(r-a_n) – атомная волновая функция (атомная орбиталь) быстро опадающая при удалении электрона от ядра (экспоненциально с расстоянием)

Блоховская волновая функция в псэ.

При образовании кристалла уровня E_a будут вырождены (одинаковы для всех атомов) поэтому волновую функцию электрона, отличную от 0 во всем кристалле, образуют из линейной комбинации атомных волновых функций Ψ_a (из теории возмущения для вырожденных состояний)

Ψ(r)=∑CnΨ_a(r-a_n) ,где Cn=e^i(k,an)

Т.е. однородная волновая функция в ПСЭ имеет вид: Ψ(r)=∑ e^i(k,an)*Ψ_n(r-a_n)

Найдем с её помощью разрешенные состояния E(k) в кристалле.

Решение уравнения Шредингера в псэ.

E(k) определим как среднее значение квантово-механической величины: <E>=(∫Ψ*ĤΨdτ)/(∫Ψ*Ψdτ) интегрирование ведется по основной области кристалла.

<E>=(∫Ψ*[-ћ²/2m+U(r)]Ψdτ)/(∫Ψ*Ψdτ)

Ψ*(r)=∑ e^i(k,an)* Ψ(r-a_m)

a_m –вектор решетки.

Закон дисперсии e(k) в методах псэ.

E(k) –энергия электрона в разрешенном k –состоянии в энергетической зоне кристалла.

E(k)=<E>=(∫Ψ*[-ћ²/2m+U(r)]Ψdτ)/∫Ψ*Ψdr

Ψ(r)=∑e^i(k,an)*Ψa(r-a_n)

Ψ*(r)=∑ e^-i(k,am)*Ψ_a(r-a_m) – комплексная сопряженная волновая функция. n≠m

Найдем HΨ=[-ћ²/2m▼²+U(r)]∑ e^i(k,an)*Ψ_a(r-a_n)

-ћ²/2m▼²Ψ_a(r-a_n) – определим из уравнения Шредингера для атома:

ĤaΨa(r-a_n)= -ћ²/2m▼²Ψa(r-a_n)+Ua(r-a_n)Ψa(r-a_n)=EaΨa(r-a_n)

-ћ²/2m▼²Ψa(r-a_n)=[Ea-Ua(r-a_n)] Ψa(r-a_n)

E(k)=(∫∑m e^-i(k,am)*Ψa*(r-a_m){Ea+(Ur)-Ua(r-an)}∑n e^-i(k,an)*Ψa(r-an)dτ)/(∑n,m e^i(k,an-am)∫Ψa*(r-a_n)Ψa(r-a_n)dτ)

E(k)=[(Ea(∑n,m e^i(k,an-am)∫ Ψa*(r-a_n)Ψa(r-a_n)dτ)/(∑n,m e^i(k,an-am)∫ Ψa*(r-a_m)Ψa(r-a_n)dτ)]+

(∑n,m e^i(k,an-am)∫Ψa*(r-a_n)[U(r)-U(r-a_n)]Ψ(r-an)dτ)/(∑n,m e^i(k,an-am)∫Ψa*(r-a_m) Ψa(r-a_n)dτ)

Суммы ∑n,m зависят от n и m не по отдельности, а от разности, поэтому можно положить m=0

Обозначим (r-an) через Pn

E(k)=Ea+[(∑n e^i(k,an)*∫ Ψa*(r)[U®-Ua(Pn)] Ψa(Pn)dτ)/((∑n e^i(k,an)*∫ Ψa*(r) Ψa*(P_n)dτ)]

Рассмотрим 2 случая , соответственных методу образования кристалла в методе ПСЭ.

1-й Этап образования кристалла: из изолированных атомов с энергией Ea создали решетку нужной симметрии, но с расстояниями между атомами d>a (постоянная решетки кристалла)

В этом случае волновые функции соседних атомов (ближайшего окружения) не перекрываются с волновой функцией выбранного узла (например n=0 – нулевой узел)

∫Ψ*(к)Ψ(r)dτ=0 n≠0

1 n=0

Для нулевого узла второй член в выражении E(k) будет равен

∫Ψ*(r)[U(r)-Ua(r)] Ψ(r)dτ=-c интеграл отрицательный т.к. U(r)-Ua(r)<0

U(r)- кристаллический потенциал - - -

Ua(r) – атомный потенциал ─

Смысл величины с: есть усредненная энергия электрона рассматриваемого узла (n=0) в поле остальных узлов U(r) за вычетом энергии в данном узле Ua(r)

На величину с понижается каждый уровень в решетке с d>a

При образовании решётки с параметрами d=a атомные волновые функции соседних атомов к нулевому узлу (n=0)- атома 1-ой координационной группы перекрываются (слабо) в полупроводнике и диэлектрике ,благодаря чему, возникает обменное взаимодействие между атомами – электрон туннелирует от атома к атому и принадлежит уже кристаллу в целом.

В результате :вырождение уровней Ea снимается → дискретные уровни Ea – расщепляются в разрешенную зону энергии шириной ΔE

Ширина ΔE определяется величиной обменной энергии:

Обозначим an_o – координаты атомов ближайших к нулевому (n=0)