4.2 Концентрация электронов и дырок в зонах для различных степеней вырождения электронного или дырочного газа. Эффективная масса дырок для плотности состояний - mpd

в водится для вырожденной валентной зоны (вырождение по энергии)

V₁ и V₂ – стыкуются в точке - имеют одинаковую энергию, но разные волновые функции.

V₁ – подзона тяжелых дырок с изотропной массой – m_p1

V₂ – подзона легких дырок с эффективной массой – m_p2.

Плотность состояний для валентной зоны:

эффективная масса дырок для плотности состояний.

Таким образом, с введением m_pd сложная V-зона заменяется параболичной невырожденной валентной зоной:

Модель полупроводников с m_nd и m_pd:

Концентрация электронов и дырок в условиях равновесия в темноте

Концентрация электронов в зоне проводимости.

В интервале E, E + dE в зоне проводимости кристалла единичного объема содержится d_n-электронов:

В зоне проводимости:

или

Введем новые переменные:

x= E – Ec/ kT – энергия электронов в единичном kT, отсчитывается от дна Ec.

- приведенный уровень Ферми

– эффективная плотность состояний в зоне проводимости

Тогда - интегралы Ферми: от параметра порядка 1/2.

- общая формула для любой степени вырождения электронного газа.

Приближенные значения :

н евырожденный электронный газ

промежуточный случай

сильновырожденный электронный газ (металлы, вырожденые полупроводники)

Концентрация электронов проводимости в невырожденных полупроводниках

Общая формула:

N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости - интеграл Ферми.

Рассмотрим:

dn – число электронов в интервале E, E + dE зоны проводимости для V = 1

 - это указывает на незначительную концентрацию электронов в зоне проводимости – что характерно для невырожденного полупроводника.

Электроны распределены в узком интервале энергий вблизи дна зоны проводимости.

Определим n:

– концентрация зависит по экспоненте от T – признак невырожденности электронного газа.

Электропроводность полупроводника так же зависит по экспоненте от T:

( - слабее зависит от T)

Концентрация электронов проводимости в сильновырожденном полупроводнике

Площадь под кривой значительно больше, чем невырожденности полупроводника, что указывает на большую концентрацию электронов в зоне проводимости.

, где

Таким образом, n не зависит от T – признак сильного вырождения электронного газа.

При T = 0   0 (как в металле)

Для промежуточной системы вырождения электронного газа:

Концентрация дырок в полупроводнике p-типа

Невырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильно вырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильновырожденный полупроводник p-типа:

Смысл Nc и Nv в статистике

Таким образом, при расчете n в невырожденном полупроводнике n-типа зону проводимости представляют как набор Nc числа уровней с одинаковой энергией Ec.

Nv – валентная зона состоит из Nv уровней с одинаковой энергией Ev.